13Устойчивость положений равновесия
Важный вопрос, который можно задавать о дифференциальных уравнениях: насколько сильно поменяется решение, если мы чуть-чуть поменяем начальное условие? Для конечных промежутков времени на этот вопрос отвечает уравнение в вариациях (мы рассматривали его простейшую версию, когда обсуждали линейные уравнения первого порядка, см. параграф 9.1.1). Однако зачастую нас интересует, как устроено установившееся движение, то есть что происходит при , стремящемся к бесконечности. Для анализа этого случая нужно ввести новые понятия. Чем мы и займёмся.13.1Интуитивное представление об устойчивости
В принципе, можно сформулировать понятие устойчивости применительно к любому решению, но мы сосредоточимся на положениях равновесия.Собственно, мы уже говорили о том, что положения равновесия (они же особые точки) дифференциального уравнения бывают устойчивыми или неустойчивыми, не вводя аккуратно соответствующие понятия. Напомним те примеры, для которых нам хватало интуиции, а потом сформулируем соответствующие определения аккуратно.
13.1.1Одномерное фазовое пространство
Рассмотрим уравнение
А вот точка совсем другая: если начальное условие отклоняется от него (даже совсем чуть-чуть), всё равно решение со временем уйдёт достаточно далеко либо в положительном направлении (уйдёт на бесконечность), либо в отрицательном (притянется к точке ). Эта точка является неустойчивой.
13.1.2Двумерное фазовое пространство
Давайте вспомним, какие особые точки на плоскости нам встречались. В главе 10 мы построили полную классификацию невырожденных линейных особых точек. Напомним также, как выглядят фазовые кривые математического маятника, см. рис. 13.4 (подробнее см. в параграфе 7.3). Здесь мы видим два типа особых точек: вблизи точки фазовые кривые похожи на окружности (прямо как в линейном центре), а около точек — гиперболы (как в седловой особой точке).
Какие из особых точек, изображённых на рисунках 13.3 и 13.4, являются устойчивыми, а какие неустойчивыми? Проще всего разобраться с узлами и фокусами: это такие особые точки, что все траектории стремятся к ним либо в прямом времени (когда ), либо в обратном (). Если все траектории стремятся к узлу (или фокусу) в прямом времени, то отклонившись немножко от этого положения равновесия мы со временем не только не уйдём от него далеко, но и будем неограниченно приближаться к нему. Мы уже раньше назвали такие особые точки устойчивым узлом и устойчивым фокусом (см. соответствующие картинки в нижнем ряду рис. 13.3) и было бы логично ожидать, что когда мы придумаем определение устойчивости, такие особые точки будут устойчивыми в соответствии с этим определением. Наоборот, если все траектории стремятся к положению равновесию в обратном времени, то в прямом времени они уходят от него. В этом случае, если мы чуть-чуть «промахнёмся» мимо особой точки, то попадём на одну из таких убегающих траекторий и уйдём достаточно далеко от особой точки. Это соответствует неустойчивому фокусу и узлу (верхний ряд на рис. 13.3).
Посмотрим теперь на седло. Большинство траекторий седла имеют форму гипербол: они проходят вблизи седла, но со временем отдаляются от него, приближаясь к отталкивающему собственному направлению. Они не стремятся к седлу ни в прямом, ни в обратном времени. Однако, так ведут себя не все траектории: среди них есть так называемые сепаратрисы, проходящие вдоль собственных направлений и стремящиеся к седлу в прямом или обратном времени.
Точки на фазовом портрете маятника похожи на седла (хотя они не являются линейными особыми точками). Они соответствуют положениям равновесия, при которых маятник направлен вертикально вверх и неподвижен. Понятно, что такое положение равновесия трудно назвать устойчивым: малейшее отклонение маятника от вертикали скорее всего приведёт к тому, что он придёт в движение и через какое-то время уйдёт далеко от вертикального положения равновесия. Логично ожидать, что такие положения равновесия (и вообще любые седловые особые точки) будут неустойчивыми с точки зрения любого разумного определения устойчивости.
Наконец, рассмотрим особые точки типа «центр». Они похожи на положения равновесия для математического маятника. При этом маятник направлен вертикально вниз и неподвижен. Небольшое отклонение маятника от такого положения приведёт к тому, что он начнёт колебаться — на фазовом портрете это соответствует замкнутой траектории, похожей на окружность. Чем меньше исходное отклонение, тем меньше амплитуда колебаний. Устойчиво ли такое положение равновесия? Вроде бы, да.
Итак, устойчивый узел, устойчивый фокус и центр устойчивы, неустойчивый узел, неустойчивый центр и седло — неустойчивы. Остаётся придумать математическое определение устойчивости, которое бы не противоречило нашей интуиции.
13.2Придумываем определение устойчивости
Рассмотрим дифференциальное уравнениеЭто упражнение очень полезно сделать перед чтением последующего текста: даже если ваши попытки окажутся неудачными, они помогут глубже понять правильное определение устойчивости. На лекциях в этом месте мы всегда играем в такую игру: аудитория пытается придумать определение, а потом мы обсуждаем, почему оно оказывается неправильным. Вот пара примеров таких попыток.
Верный ответ. Например, особая точка типа «центр» согласно такому определению является неустойчивой, а нам бы хотелось, чтобы она была устойчивой.
Верный ответ. Рассмотрим уравнение на прямой . Точка является особой, если , то , а если , то . Отклонившись от точки чуть-чуть мы начнём отклоняться от неё всё сильнее, однако не уйдём дальше точки или , см. рис. 13.5. В то же время, сколь малым ни было бы наше отклонение от , траектория уйдёт от достаточно далеко (на расстояние порядка 1). Поэтому точка не должна быть устойчивой, а по предложенному определению была бы.
Верный ответ. Рассмотрим особую точку типа «центр», но пусть фазовые кривые являются не окружностями, а вытянутыми по горизонтали эллипсами, см. рис. 13.6. Нарисуем какую-нибудь окрестность точки : для стандартной метрики она будет иметь форму круга. Траектории, стартующие вблизи верхней точки этого круга покидают эту окрестность из-за вытянутости эллипсов. Таким образом, данная особая точка была бы неустойчивой по нашему «определению», вопреки ранее принятым решениям.
Ну что же, дадим, наконец, и верное определение.
Это определение похоже на определение предела: строго говоря, это определение равномерного предела семейства функций. Его можно понимать так: для всякой целевой окрестности можно выбрать окрестность поменьше, такую, что все траектории, стартующие в этой маленькой окрестности, не покинут целевую. Условие о том, что рассматриваются только значения , очень важное — нас интересует, что происходит в прямом времени (при ), а не в обратном.
13.3Используем определение устойчивости по Ляпунову
Проверим, что для тех точек, которые мы обсуждали, определение устойчивости по Ляпунову согласуется с нашими интуитивными представлениями.13.3.1Устойчивый узел
Сначала рассмотрим устойчивый линейный узел. Перейдём в нормализующие координаты (соответствующие собственному базису). Система примет вид
13.3.2Центры
Рассмотрим далее особую точку типа «центр». Её траекториями могут быть достаточно вытянутые эллипсы: точка, движущаяся вдоль такой траектории может как приближаться, так и удаляться от начала координат.
13.3.3Седло
Рассмотрим теперь особую точку вида седло:
13.4Асимптотическая устойчивость
Когда мы обсуждали вопрос об «интуитивной» устойчивости линейных особых точек, у нас не возникло никаких сомнений по поводу узлов, фокусов и сёдел. С центрами всё не так однозначно. С одной стороны, траектории, близкие к особой точке, не уходят слишком далеко, и это вроде бы соответствует нашим представлениям об устойчивости и согласуется с определением устойчивости по Ляпунову. С другой стороны, нам может потребоваться более сильное условие: чтобы со временем траектория не просто не уходила далеко от особой точки, но и приближалась к ней. Это условие даёт нам определение асимптотической устойчивости.
Заметим, что определение 5 очень похоже на неверное определение 1: разница состоит в том, что в определение асимптотической устойчивости явно входит требование устойчивости по Ляпунову. Может быть, достаточно только условия на предел? Оказывается, нет: можно построить пример системы, у которой имеется такая особая точка, что любая траектория, стартующая вблизи этой точки, возвращается к ней, но при этом может уйти достаточно далеко — и таким образом особая точка не является устойчивой по Ляпунову.
- Построить фазовый портрет в координатах и .
- Что можно сказать о поведении решений при ?
- Является ли положение равновесия асимптотически устойчивым?
- Устойчивым по Ляпунову?
13.5Теорема об устойчивости по первому приближению
Доказывать устойчивость особой точки, пользуясь только определением, обычно не очень просто. К счастью, существует теорема, которая сильно упрощает решение задач такого типа.Для особой точки системы дифференциальных уравнений (13.2) рассмотрим матрицу Якоби:
- Если все собственные значения имеют отрицательные вещественные части, то есть для всех , то особая точка асимптотически устойчива.
- Если хотя бы одно собственное значение имеет положительную вещественную часть, то есть найдётся такое , что , то особая точка не является устойчивой по Ляпунову.
Между двумя утверждениями теоремы есть «зазор»: бывают такие особые точки, про устойчивость которых теорема не говорит ничего.
Верный ответ. Это особые точки, у которых есть собственные значения, лежащие на мнимой оси, то есть имеющие нулевую вещественную часть, а также, быть может, есть какое-то количество собственных значений с отрицательной вещественной частью.
Полное доказательство этой теоремы довольно сложное и мы не будем здесь его приводить. Рассмотрим лишь случай линейных уравнений; после этого поверить в общий случай можно будет легко, зная, что поведение нелинейных уравнений похоже на поведение соответствующих линейных.
Начнём со второй части. Если есть хотя бы одно собственное значение с положительной вещественной частью, ему соответствует некоторый собственный вектор и у уравнения есть решение вида . Если , экспонента возрастает при , и существует далеко уходящее решение со сколь угодно близким к началу координат начальным условием (параметр можно делать сколь угодно маленьким). Значит, особая точка не является устойчивой по Ляпунову.
Докажем теперь первую часть. Если все собственные числа имеют отрицательную вещественную часть, и матрица диагонализируема, вдоль всех направлений идёт приближение к нулю, и особая точка асимптотически устойчива.
Доказательство для жордановой клетки более сложное. Рассмотрим уравнение , где — жорданова клетка с собственным значением , причём . Рассмотрим для простоты случай вещественного , то есть . (Случай комплексного рассматривается аналогично, но с некоторыми техническими усложнениями.)
Идея состоит в том, чтобы доказать, что траектория, войдя в произвольный круг радиуса , никогда из него не выйдет. Чтобы это утверждение стало верным, нужно выбрать правильную систему координат. (В исходной системе координат вместо кругов нужно брать эллипсы.)
Заметим, что выбором координат можно единички в жордановой форме заменить на произвольное число . Действительно, рассмотрим такую диагональную матрицу перехода:
Теперь рассмотрим функцию . Мы хотим доказать, что для всех , то есть производная вдоль векторного поля от функции везде отрицательна (кроме нуля). Это будет означать, что в любой момент времени расстояние до начала координат уменьшается. Имеем: