2Автономные дифференциальные уравнения на прямой

Итак, давайте научимся решать какие-нибудь дифференциальные уравнения. Для начала — очень простые.

В этой главе мы будем рассматривать дифференциальные уравнения вида

где $x:D\to R$ — неизвестная функция, $D$ — связное подмножество прямой (вся прямая, луч, отрезок, полуинтервал, интервал), $f:D\times R\to R$ — некоторая по меньшей мере непрерывная (а лучше бы гладкая, как мы увидим чуть позже) функция от двух переменных.

Напомним, что решением уравнения (2.1) называется дифференцируемая функция $\phi$, такая, что выполнено тождество

Обсудим для начала, как можно было бы находить значение функции $\phi$, не пытаясь выписать решение в виде явной формулы. Оказывается, с помощью компьютера это довольно несложно сделать — правда, решение будет не точным, а приближённым. Обсуждение этого метода окажется полезным и для наших дальнейших аналитических построений.

2.1Численное решение дифференциальных уравнений. Метод Эйлера

Пусть поставлена задача Коши:Мы можем приблизительно решать её таким образом. Возьмём произвольную точку $(t_0,x_0)$ расширенного фазового пространства. Интегральная кривая, проходящая через эту точку, имеет в ней касательную с угловым коэффициентом $f(t_0,x_0)$. Касательная — это прямая, которая хорошо приближает график функции. Давайте на секундочку представим, что интегральная кривая в точности совпадает с касательной на некотором небольшом промежутке времени — начиная с момента $t_0$ и заканчивая $t_0+\Delta t$, где $\Delta t$ — некоторое маленькое число. Иными словами, мы считаем, что на этом промежутке двигаемся с постоянной скоростью — той, которая была в момент времени $t_0$, то есть $f(t_0,x_0)$. В этом случае к моменту времени $t_0+\Delta t$ мы пройдём расстояние, равное $f(t_0,x_0)\cdot \Delta t$ и попадём в точку $(t_1,x_1)$, задаваемую следующим образом: $$\begin{array}{cc}{x}_1& =x_0+f(t_0,x_0)\cdot \Delta t\\ t_1& =t_0+\Delta t\end{array}$$ Точка $(t_1,x_1)$ лежит на касательной, проходящей через точку $(t_0,x_0)$. Если $\Delta t$ мало, эта точка должна лежать близко к графику настоящего решения. Теперь мы можем взять точку $(t_1,x_1)$ за стартовую, построить в ней уже новую касательную и пройти по этой касательной ещё на $\Delta t$ вправо. Действуя таким образом, получим набор точек, связанных соотношением: $$\begin{array}{cc}{x}_{n+1}& =x_n+f(t_n,x_n)\cdot \Delta t\\ t_{n+1}& =t_n+\Delta t=t_0+(n+1)\Delta t\end{array}$$ Если соединить эти точки отрезками прямых, они будут проходить близко к касательным к графику решения, и сама получающаяся ломаная будет приближаться к настоящему решению. Естественно, с уменьшением шага точность приближения увеличивается.

Этот метод приближённого нахождения решений называется методом Эйлера. Он даёт представление о том, как можно использовать компьютер для исследования дифференциальных уравнений. На практике, впрочем, используются более сложные методы, хотя принцип их работы в целом очень схож.

На рис. 2.1 синим изображено истинное решение уравнения $\dot{x}=t$ с начальным условием $x(-3)=4$, а красным, розовым, фиолетовым и зеленым изображены численные решения уравнения методом Эйлера 5, 10, 20 и 100 шагами соответственно. Заметим, что уже сто шагов дает достаточно хорошее приближение решения.

2.2Аналитическое решение автономных дифференциальных уравнений на прямой

Вернёмся к аналитическому поиску решений. В отличие от численных методов, даже для уравнений в размерности 1 найти решение аналитически не всегда возможно — а чаще так и невозможно. Но если несколько сузить класс рассматриваемых уравнений, то у нас всё получится.

Рассмотрим задачу Коши для автономного дифференциального уравнения (2.3) с начальным условием $x\left(t_0\right)=x_0$. Пусть $f\left(x_0\right)\ne 0$. В этом случае решение задаётся явной формулой (она называется формулой Барроу). Мы обсудим несколько способов её вывода и интерпретации.

2.2.1Геометрические соображения

В предыдущей главе мы обсуждали, что существует специальный класс дифференциальных уравнений, которые очень просто решаются: это уравнения вида $\dot{x}=f\left(t\right)$, мгновенно сводящиеся к интегрированию (см. параграф 1.2.4). Мы будем называть такие уравнения простейшими, хотя это не общепринятый термин.

Рассмотрим поля направлений двух уравнений: первое является простейшим, а второе автономным, см. рис. 2.2.

Это совсем разные уравнения, но их поля направлений обладают неким сходством: они не меняются при сдвигах. Разница в том, что первое поле направлений не меняется при вертикальных сдвигах, а второе — при горизонтальных. Нетрудно понять, что аналогичными свойствами обладают все уравнения этих двух классов.

Напомним, что задача отыскания решения дифференциального уравнения имеет простую геометрическую интерпретацию: нужно найти кривую, касающуюся в каждой своей точке соответствующего поля направлений. Вместе со сходством полей направлений это даёт надежду, что нам удастся придумать метод решения автономных уравнений, сводящий их к некоторым простейшим.

Оказывается, сделать это довольно просто: достаточно поменять роль осей и считать независимой переменной $x$, а неизвестной функцией — время. Ниже мы обсудим два способа реализации этого замысла.

2.2.2Механический подход

Решить дифференциальное уравнение — это значит научиться отвечать на вопрос о том, где окажется решение в произвольный момент времени $t$, если в момент времени $t_0$ оно находилось в точке $x_0$. В соответствии с выводами предыдущего пункта, поменяем роли переменных и зададим другой вопрос: сколько времени потребуется, чтобы добраться из точки $x_0$ до некоторой другой точки $x$?

Попробуем ответить на этот вопрос (хотя бы приближённо) с помощью аналога метода Эйлера (см. раздел 2.1). Предположим для определённости, что $x>x_0$ и $f\left(x_0\right)>0$ (вблизи $x_0$ движение происходит вправо; обратный случай рассматривается полностью аналогично). Предположим также, что на всём отрезке $[x_0,x]$ функция $f$ принимает только положительные значения (чуть ниже мы обсудим, что это вполне разумное предположение). Разобьем отрезок $[x_0,x]$ на $n$ равных маленьких отрезочков длины $\Delta x$. Пусть $x_k=x_0+k\cdot \Delta x$ — концы наших отрезочков. Сколько времени нужно, чтобы попасть из точки $x_k$ в точку $x_{k+1}$? Для этого нам придётся пройти расстояние, равное $\Delta x$. Мгновенная скорость движения в точке $x_k$ равна $f\left(x_k\right)$. Поскольку $\Delta x$ мало, а функция $f$ непрерывна, можно ожидать, что её значение не слишком сильно изменится, по крайней мере, пока мы находимся на том же отрезочке. Значит, можно считать (совершая некоторую ошибку, малую при малых $\Delta x$), что движение на всём отрезочке происходит с постоянной скоростью, равной $f\left(x_k\right)$. Тогда время движения вычисляется по школьной формуле: нужно расстояние $\Delta x$ поделить на скорость $f\left(x_k\right)$. Обозначим вычисленное таким образом время прохождения $k$-го отрезочка через $\Delta t_k$. Имеем:

Пусть мы оказались в точке $x$ в момент времени $t$. Тогда время прохождения всего отрезка от $x_0$ до $x$ равна $t-t_0$ и получается сложением всех $\Delta t_k$ для $k=0,\dots ,n-1$: Ну-ка, что у нас тут в правой части? Это же интегральные суммы для функции $\frac{1}{f\left(x\right)}$! Равенство (2.5) является приближённым, но когда мы перейдём к пределу при $\Delta x\to 0$ (или, что то же самое, при $n\to \infty$), оно превратится в точное: Это соотношение и называется формулой Барроу. Его можно понимать как неявное выражение $x$ через $t$. В некоторых ситуациях из него можно выразить функцию $x\left(t\right)$ явно.

2.2.3Аналитический подход

Приведём более формальный вывод формулы Барроу, опирающийся на математический анализ. Пусть функция $x=\phi \left(t\right)$ является решением уравнения (2.3) и удовлетворяет начальному условию $\phi \left(t_0\right)=x_0$. Рассмотрим функцию $t=\psi \left(x\right)$, обратную к функции $x=\phi \left(t\right)$. Рассмотрим произвольную точку $(t_1,x_1)$, лежащую на графике решения: для неё выполняются соотношения $x_1=\phi \left(t_1\right)$, $t_1=\psi \left(x_1\right)$ и $\dot{\phi }\left(t_1\right)=f\left(x_1\right)$ (поскольку $\phi$ является решением уравнения). Тогда по теореме о производной сложной функции Это равенство выполняется в любой точке $x_1$. Значит, функция $\psi$ является решением дифференциального уравнениягде $x$ выступает в роли независимой переменной. Правая часть теперь не зависит от неизвестной функции и такое уравнение мы умеем решать:Вспоминая, что $t=\psi \left(x\right)$ — обратная функция к решению $x=\phi \left(t\right)$, имеем:Мы снова получили формулу Барроу.

2.2.4Магия

Часто для вывода формулы Барроу используют такую символическую запись: $$\begin{array}{}\dot{x}& =f\left(x\right)& \frac{dx}{dt}& =f\left(x\right)& dt& =\frac{dx}{f\left(x\right)}& {\int }_{t_0}^{t}dt& ={\int }_{x_0}^x\frac{dx}{f\left(x\right)}& \text{(2.7)}& \text{(2.8)}& \text{(2.9)}& \text{(2.10)}\end{array}$$ Это может показаться некоторой магией — особенно загадочно выглядит уравнение (2.9). Чуть позже мы дадим определение дифференциальной 1-формы, с помощью которого можно придать этим формулам аккуратный смысл, а пока обратим внимание, что уравнение (2.9) очень похоже на уравнение (2.4). В целом, эта формальная запись фактически повторяет наш вывод в параграфе 2.2.2.

---