3Существование и единственность решений дифференциального уравнения

В этой главе мы обсудим главную теорему теории дифференциальных уравнений: теорему существования и единственности решений. Для начала мы сформулируем и докажем её в самом простом случае автономных уравнений на прямой.

3.1Автономные уравнения на прямой

Теорема 1. В некоторой окрестности любой точки

t_{0}

существует и единственно решение

x = x (t)

задачи Коши

\begin{matrix} ˙ x = f (x), x (t_{0}) = x_{0}, x (t) \in R, f \in C^{1}, \\ (3.1) \end{matrix}

условие

f \in C^{1}

означает, что функция

f

является непрерывно-дифференцируемой по крайней мере в некоторой окрестности точки

x_{0}

(то есть имеет непрерывную первую производную). Единственность означает, что любое другое решение с таким же начальным условием совпадает с

x (t)

для всех

t

из некоторой окрестности

t_{0}

Доказательство. Рассмотрим два случая.

Неособая точка. Если точка $x_{0}$ является неособой, то есть $f (x_{0}) \neq 0$ , решение находится по формуле Барроу, которую мы обсуждали в предыдущей главе:

\begin{matrix} t - t_{0} = \int_{x_{0}}^{x} \frac{1}{f (y)} d y \\ (3.2) \end{matrix}

Из теоремы об обратной функции мгновенно следует, что это соотношение вблизи точки

x_{0}

задаёт единственно возможную функцию

x = x (t)

. Действительно, пусть

\begin{matrix} F (x) = \int_{x_{0}}^{x} \frac{d ξ}{f (ξ)} + t_{0} \\ (3.3) \end{matrix}

Условие (3.2) запишется в виде

F (x) = t

При этом

F^{'} (x_{0}) = \frac{1}{f (x_{0})} \neq 0

по предположению. Следовательно, существует обратная функция

x = F^{- 1} (t)

, удовлетворяющая (3.2) и таким образом являющаяся решением задачи Коши (3.1).

Если вы не доверяете теореме об обратной функции, можно рассуждать так. Известно, что $f (x_{0}) \neq 0$ ; допустим для определённости (как говорят «без ограничения общности»), что $f (x_{0}) > 0$ (обратный случай рассматривается полностью аналогично). Поскольку функция $f$ непрерывна вблизи точки $x_{0}$ , существует её окрестность $U$ , на которой функция $f$ принимает только положительные значения. Таким же свойством обладает и функция $\frac{1}{f}$ , являющаяся подынтегральным выражением в (3.3). Следовательно, функция $F$ монотонно возрастает на $U$ . Следовательно, у неё существует обратная функция.

Рассмотрим теперь второй возможный случай.

Особая точка. Если $f (x_{0}) = 0$ , очевидно, решением является константа $x = x_{0}$ : в точке $x_{0}$ уравнение требует, чтобы производная решения была нулевой, то есть решение в этой точке не растёт и не убывает, а значит остаётся постоянным.∎

Вот такое доказательство. Убедительно?

Тут нужно сделать театральную паузу. А потом рассмотреть пример.

Пример 1. Рассмотрим задачу

\begin{matrix} ˙ x = x^{2 / 3}, x \geq 0, x (0) = 0 \\ (3.4) \end{matrix}

Очевидно, функция

x (t) = 0

является решением этой задачи. В то же время, функция

x (t) = t^{3} / 27

также является решением. (Проверьте, что это так!)

Как так может быть? Мы доказали неверную теорему? Математика — сплошной обман?

А вот и нет. У нас просто ошибка в доказательстве: разбирая второй случай, мы сказали, что существует решение $x = x_{0}$ , но мы не доказали на самом деле, что других решений с таким начальным условием нет. Рассуждение о том, что решение с нулевой производной в некоторой точке «в этой точке не растёт и не убывает, а значит остаётся постоянным» легко опровергается: функция $x = t^{3}$ имеет нулевую производную в нуле, но при этом не является константой вблизи нуля.

Значит ли это, что теорема неверна? Снова нет. Теорема верна. Если вы внимательно посмотрите на её формулировку, то увидите, что уравнение, рассмотренное в примере, не удовлетворяет условию теоремы: правая часть $f (x) = x^{2 / 3}$ не является гладкой функцией в точке $x = 0$ : её производная там стремится к бесконечности.

Этот пример показывает, что требование $C^{1}$ -гладкости правой части в формулировке теоремы 1 является важным: если его выбросить, теорема оказывается неверной. (Впрочем, его можно ослабить: вместо гладкости требовать липшицевости правой части.) Если же это требование выполняется, теорема верна. Докажем это.

Доказательство теоремы 1 (дополнение). Для случая

f (x_{0}) \neq 0

наше доказательство не имеет изъянов.

Пусть $f (x_{0}) = 0$ . Функция $x (t) = x_{0}$ в этом случае всегда будет решением уравнения $˙ x = f (x)$ . Нам необходимо показать, что других решений не будет, то есть исключить ситуацию, когда решение принимает значение $x_{0}$ (быть может, на некотором отрезке по оси $y$ ), а затем «убегает» из этой точки. Мы докажем, что если $f \in C^{1}$ , то «побег» запрещен.

Доказываем от противного: пусть удалось убежать из точки $x_{0}$ в какую-то точку $x_{2}$ , то есть существует решение $x = x (t)$ , принимающее значение $x_{0}$ при $t = t_{0}$ и значение $x_{2}$ при каком-то другом $t = t_{2}$ . Возьмём какую-то точку $x_{1}$ между $x_{0}$ и $x_{2}$ . Поскольку решение непрерывно, должен существовать момент времени $t_{1} \in (t_{0}, t_{2})$ , в который мы окажемся в точке $x_{1}$ (то есть $x (t_{1}) = x_{1}$ ). Посчитаем время $t_{2} - t_{1}$ , которое потребуется, чтобы от $x_{1}$ добраться до $x_{2}$ , см. рис. 3.1.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py

plt.axis([-1,5,-1,5])
ob.center_spines()
ob.mplot(np.linspace(1,5),lambda x: (x - 1)**2 / 2, 
         color='steelblue', linewidth=3)
ob.mplot(np.linspace(0,1),lambda x: 0, color='steelblue', 
         linewidth=3)
plt.text(4.8,0.2,"$t$",fontsize=15)
plt.text(0.1,4.7,"$x$",fontsize=15)
plt.plot([2.5, 2.5, 0], [0, 1.125, 1.125], 'k--', 
         [3.5, 3.5, 0], [0, 3.125, 3.125], 'k--',
         [0, 0], [1.125, 3.125], 'ro')
plt.text(0.1, 1.3, "$x_1$", fontsize=20)
plt.text(0.1, 3.3, "$x_2$", fontsize=20)

Рис. 3.1: План побега из точки

x_{0}

(на картинке

x_{0} = 0

По формуле Барроу, оно вычисляется следующим образом:

\begin{matrix} t_{2} - t_{1} = \int_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{d x}{f (x)} \\ (3.5) \end{matrix}

Утверждение 1. Если

f \in C^{1}

, то

\int_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{d x}{f (x)} \to \infty

при

x_{1} \to 0 +

Если мы это докажем, то придём к противоречию с предположением, что нам удалось убежать за конечное время из $x_{0}$ в какую-то другую точку: понятно, что $t_{2} - t_{0} > t_{2} - t_{1}$ и если вторая величина может быть сколь угодно большой, то первая не может быть конечным числом.

Лемма 1. Пусть

f \in C^{1} (B (x_{0}))

, где

B (x_{0})

— некоторый замкнутый отрезок, содержащий фиксированную точку

x_{0}

, причём

f (x_{0}) = 0

. Тогда существует такая константа

C > 0

, что

| f (x) | \leq C | x - x_{0} |

для всех

x \in B

Смысл. Переводя на русский язык, можно сказать, что гладкая функция вблизи своего нуля растёт не быстрее, чем некоторая линейная функция. В это легко поверить. Предположим для простоты, что $x_{0} = 0$ . Возьмём функцию $f (x)$ , такую, что $f (0) = 0$ . Вблизи нуля она хорошо приближается касательной $y = f^{'} (0) x$ , хотя и может проходить чуть выше или чуть ниже касательной. Если построить прямую, наклон которой будет несколько больше, чем наклон касательной, то график функции окажется запертым между этой прямой и её отражением относительно горизонтальной оси. (См. рис 3.2.)

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py

plt.cla()
plt.axis([-4,4,-4,4])
ob.center_spines()
ob.mplot(np.linspace(-3,3),lambda x: 0.5 * x, 
         color="grey",
         label="tangent line")
ob.mplot(np.linspace(-3,3),lambda x: x, color="red")
ob.mplot(np.linspace(-3,3),lambda x: -x, color="red")
ob.mplot(np.linspace(-3,3),lambda x: 0.5 * (x**3+x))
plt.text(3.8,0.2,"$x$",fontsize=15)
plt.text(0.1,3.8,"$y$",fontsize=15)
plt.legend(loc=4)

Рис. 3.2: Оценка гладкой функции

Доказательство леммы 1. Поскольку функция

f

является гладкой на

B (x_{0})

, её производная

f^{'}

непрерывна на том же отрезке; таким же свойством обладает функция

| f^{'} |

. Следовательно, существует максимум

| f^{'} |

на отрезке

B (x_{0})

; обозначим его через

C

. Тогда

f (x) = f (x_{0}) + \int_{x_{0}}^{x} f^{'} (ξ) d ξ \leq 0 + | \int_{x_{0}}^{x} C d ξ | = C | x - x_{0} |

∎

Упражнение 1. Привести доказательство этой же леммы, опирающееся на теорему Лагранжа о конечных приращениях.

Доказательство утверждения 1. Получив в лемме 1 оценку на

f (x)

сверху, мы получили оценку на

1 / f (x)

снизу:

\frac{1}{| f (x) |} \geq \frac{1}{C | x - x_{1} |} \forall x \in {\circ U}_{δ} (x_{0})

используем её теперь для доказательства расходимости интеграла (3.5):

\int_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{1}{| f (x) |} \geq \int_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{1}{C | x - x_{1} |} \to \infty при x_{1} \to 0^{+}

∎

3.2Общий случай

Результат, аналогичный теореме 1, справедлив и в общем случае. Мы приведём здесь только формулировку: доказательство этого фундаментального факта выходит за рамки нашего курса.

Теорема 2. (Существования и единственности решения дифференциального уравнения). Рассмотрим задачу Коши

\begin{matrix} ˙ x = f (t, x), x (t_{0}) = x_{0}, f \in C^{1}, \\ (3.6) \end{matrix}

где функция

x

принимает значения в многомерном фазовом пространстве

R^{n}

Существует такая окрестность $U ∋ t_{0}$ , что на $U$ существует и единственно решение $x : U \to R^{n}$ задачи (3.6).

Замечание 1. Может возникнуть вопрос, зачем эта «локальность» в формулировке теоремы: почему нельзя обойтись без окрестности

U

? Есть два ответа: во-первых, доказательство проводится именно таким образом, оно локальное; во-вторых — сформулировать сразу глобальное утверждение не так просто: мы уже сталкивались с ситуациями, когда уравнение, определённое на всей прямой, имеет решение, определённое только на некотором луче (например,

˙ x = x^{2}

). Глобальный результат о решениях дифференциальных уравнений также можно сформулировать — мы сделаем это чуть позже.

3.3Метод разделения переменных: магия продолжается

В предыдущей главе мы обсудили, как решить уравнение вида

˙ x = f (x)

. Сейчас мы научимся решать более широкий класс уравнений с помощью той же магии, которую использовали в прошлый раз. Рассмотрим уравнение

\begin{matrix} ˙ x = \frac{f (x)}{g (t)} . \\ (3.7) \end{matrix}

Оно называется «уравнением с разделяющимися переменными». Запишем его в виде:

\frac{d x}{d t} = \frac{f (x)}{g (t)}

Дальше магия:

\frac{d x}{f (x)} = \frac{d t}{g (t)}

Интегрируем:

\int \frac{d x}{f (x)} = \int \frac{d t}{g (t)}

Или, если была поставлена задача Коши с начальным условием

x (t_{0}) = x_{0}

, имеем:

\begin{matrix} \int_{x_{0}}^{x (t)} \frac{d ξ}{f (ξ)} = \int_{t_{0}}^{t} \frac{d τ}{g (τ)} \\ (3.8) \end{matrix}

Обоснование. Чтобы магия не казалось такой загадочной, приведём обоснование этого метода. Это не самое лучшее с моей точки зрения обоснование: в нём слишком много формул и слишком мало картинок. Чуть позже мы обсудим более геометрическое доказательство, но оно потребует дополнительных построений.

Итак, пусть $x = x (t)$ — функция, удовлетворяющая соотношению (3.8). Продифференцируем почленно это соотношение по переменной $t$ .

\frac{d}{d t} \int_{x_{0}}^{x (t)} \frac{d ξ}{f (ξ)} = \frac{d}{d t} \int_{t_{0}}^{t} \frac{d τ}{g (τ)}

Левую часть можно рассматривать как сложную функцию. По теореме о производной сложной функции:

\frac{d}{d t} \int_{x_{0}}^{x (t)} \frac{d ξ}{f (ξ)} = (\frac{d}{d x} \int_{x_{0}}^{x} \frac{d ξ}{f (ξ)}) ˙ x = \frac{˙ x}{f (x)}

Таким образом,

\frac{˙ x}{f (x)} = \frac{1}{g (t)},

Что совпадает с исходным уравнением при

f (x) \neq 0

Замечание 2. Как и в случае с формулой Барроу, при использовании метода разделения переменных есть риск потерять решения, связанные с обнулением функции

f

. За этим надо аккуратно следить.

← Предыдущая глава Следующая глава →

Обыкновенные дифференциальные уравнения Интерактивный учебник

3Существование и единственность решений дифференциального уравнения

3.1Автономные уравнения на прямой

3.2Общий случай

3.3Метод разделения переменных: магия продолжается

Обыкновенные дифференциальные уравнения
Интерактивный учебник