10Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами

В предыдущей главе мы обещали, что будем изучать особые точки дифференциальных уравнений. В соответствии с общей философией, если у нас есть особая точка сложного, нелинейного уравнения, мы можем попробовать линеаризовать это уравнение (заменить его в особой точке на линейную часть) и изучить полученное линейное уравнение, ожидая, что свойства его решений будут близки к свойствам решений исходного нелинейного уравнения. Поэтому нашим первым шагом на этом пути будет изучение систем линейных дифференциальных уравнений.

10.1Замена базиса в линейных системах

Итак, наш рассказ пойдёт о многомерных однородных линейных уравнениях с постоянными коэффициентами (или, что то же самое, о системах линейных уравнений с постоянными коэффициентами), то есть об уравнениях вида где $A:R^n\to R^n$ — фиксированный линейный оператор.

В дифференциальных уравнениях эта идея — использования хорошей системы координат — также является одной из ключевых. Прежде, чем применять её к линейным уравнениям, докажем простую лемму.

в силу линейности оператора $A$Что и требовалось.

10.2Классификация линейных уравнений на плоскости

Пусть $n=2$: мы рассматриваем линейное уравнение на плоскости. Если матрица $A$ невырождена, система (10.1) имеет единственную особую точку, находящуюся в начале координат. Такая особая точка также называется линейной.

Cвойства решений дифференциального уравнения (10.1) сильно зависят от собственных значений оператора $A$. Мы будем классифицировать линейные системы (или, что то же самое, линейные особые точки) в зависимости от собственных значений. Рассмотрим все возможные случаи, начиная с самых простых.

10.2.1Два различных вещественных собственных значения

Пусть линейный оператор $A$ имеет два различных вещественных собственных значения $\lambda ,\mu \in R$, $\lambda \ne \mu$. Великая наука линейная алгебра учит нас: в этом случае у матрицы $A$ есть диагонализирующий базис. То есть существует такая матрица перехода $C$, что $C^{-1}AC=D$, где Сделаем в уравнении (10.1) замену $z=Cw$, $w=C^{-1}z$. Получим новое уравнение Пусть $w=(u,v)$. Тогда новое уравнение запишется в виде системы: Эта система — декартово произведение двух простых уравнений. Можно легко записать явный вид решений (если вам не кажется, что это сделать легко, нужно повторить самую первую лекцию):где $(u_0,v_0)$ — начальное условие (в координатах $(u,v)$). Можно ещё записать решение в таком виде: Нам бы надо записать решение в исходных координатах, но это сделать тоже легко.Здесь даже не пришлось вычислять обратную матрицу к $C$! Впрочем, это ненадолго: если нам поставлена задача Коши в исходных координатах, то есть нужно найти решение $z\left(t\right)$ с начальным условием $z\left(0\right)=z^0=(x_0,y_0)$, то для её решения придётся выразить начальное условие через новые координаты, а тут уже потребуется $C^{-1}$:

10.2.2Положительные различные собственные значения: неустойчивый узел

Пусть $\lambda$ и $\mu$ положительны. Для определенности будем считать, что $\mu >\lambda >0$ (если это не так, просто поменяем их местами). Как будет выглядеть фазовый портрет системы (10.1)? Для начала построим фазовый портрет диагонализированной системы (10.4). Согласно (10.5), все траектории, кроме особой точки $(0,0)$, будут убегать от начала координат при $t\to +\infty$ (как говорят, «в прямом времени») и стремиться к началу координат при $t\to -\infty$ («в обратном времени») — потому что именно так ведут себя соответствующие экспоненты. Чтобы понять более точно, что происходит вблизи начала координат, заметим, что решения удовлетворяют соотношениюЕго можно было бы получить, выразив $t$ через $v$ из второго уравнения и подставив в первое. А ещё можно перейти к соответствующему неавтономному уравнению (см. раздел 4.4) и решить его.

Поскольку по предположению $\mu >\lambda$, фазовые кривые касаются оси $u$ при подходе к нулю (здесь можно представить себе параболу). Другой способ понять, что они будут касаться именно оси $u$, такой: поскольку $\mu >\lambda$, в обратном времени стремление к нулю вдоль оси $v$ будет гораздо более быстрым, чем по оси $u$. Фазовый портрет в координатах $(u,v)$ выглядит как изображено на рис. 10.4. Он состоит из «параболических лучей», стремящихся к началу координат в обратном времени и пяти специальных траекторий: самого начала координат (это особая точка, которая, как мы знаем, является отдельной траекторией) и четырёх прямолинейных лучей, лежащих на осях координат.

Чтобы нарисовать фазовый портрет в исходных координатах, необходимо совершить соответствующее линейное преобразование. Посмотрим, как это происходит, на примере системы (10.2).

Диагонализируем матрицу системы. Характеристический многочлен имеет вид

собственные значения $\lambda =1$ и $\mu =5$, собственные векторы $(-3,1)$ и $(1,1)$ соответственно, а стало быть матрица перехода к диагонализирующему базису имеет вид: В новом базисе наша система принимает вид (мы это знаем наверняка, поскольку матрица $C$ находилась как диагонализирующая, а у диагональной матрицы на диагоналях стоят собственные значения).Её фазовый портрет выглядит примерно так. По оси $v$ приближение к нулю происходит гораздо быстрее, чем по оси $u$ (поскольку 5>1), поэтому фазовые кривые стремятся к нулю, касаясь оси $u$. Чтобы нарисовать фазовый портрет в исходном базисе, нужно изобразить новые базисные векторы в старом базисе. Получается примерно так: Особая точка такого вида называется неустойчивым узлом (англ. unstable node).

10.2.3Отрицательные различные собственные значения: устойчивый узел

Если оба собственных значения отрицательны (но при этом различны), получаются такие же картинки, но стрелочки направлены в обратную сторону: теперь при $t\to +\infty$ траектории стремятся к началу координат, а при $t\to -\infty$, наоборот, уходят на бесконечность. В остальном никаких изменений нет. Соответствующая особая точка называется устойчивым узлом (англ. stable node).

10.2.4Собственные значения различных знаков: седло

Пусть теперь $\lambda <0$ и $\mu >0$. Тогда, конечно, $\lambda$ автоматически не совпадает с $\mu$, оператор $A$ диагонализируем и все рассуждения из параграф 10.2.1 работают. Из формул (10.5) в этом случае видно, что при $t\to +\infty$ ненулевое решение будет приближаться к оси $v$ (потому что $u$ уменьшается) и вдоль оси $v$ уходить на бесконечность (потому что $v$ увеличивается), и наоборот, при $t\to -\infty$ решение приближается к оси $u$, входя вдоль этой оси на бесконечность.

Можно также найти первый интеграл системы: он имеет вид

Можно проверить это по явным формулам (10.5). Обе степени положительны (мы так выбрали знаки $\lambda$ и $\mu$) и линии уровня функции $H$ похожи на линии уровня функции $uv$, то есть на гиперболы. Эта особая точка имеет название седло (потому что поверхность $z=H(u,v)$ похожа на седло), её фазовые кривые изображены на рис. 10.5.

10.2.5Скалярная матрица: дикритический узел

Если два собственных значения вещественной матрицы совпадают, то это единственное собственное значение является вещественным: это следует из того факта, что комплексные собственные значения (с ненулевой мнимой частью) обязаны быть комплексно сопряжёнными (см. лемму 2 ниже). В этом случае есть два варианта: матрица является либо диагонализируемой, либо эквивалентной жордановой клетке. Пусть матрица диагонализируема. В собственном базисе она имеет видНетрудно заметить, что на самом деле она имеет такой вид в любом базисе: скалярная матрица $\lambda E$ коммутирует с любой другой матрицей, поэтому для любой матрицы перехода $C$ верноВ этом случае решение (10.5) также работает. Отличие от параграфов 10.2.2 и 10.2.3 состоит в том, что теперь фазовые кривые лежат не на параболах, а на прямолинейных лучах.

Получается картинка, изображенная на рис. 10.6. Такая особая точка называется дикритическим узлом. Дикритические узлы также бывают устойчивыми или неустойчивыми, в зависимости от знака единственного собственного значения. (Нулю оно равняться не может, потому что мы рассматриваем только невырожденные матрицы.)

10.2.6Жорданова клетка: вырожденный узел

Если собственные значения матрицы совпадают, но при этом она не диагональная, значит, она и не диагонализируема. Однако она в любом случае приводится к жордановой нормальной форме. Поскольку мы работаем с матрицами $2\times 2$, в жордановой нормальной форме есть только одна клетка. Уравнение (10.1) принимает видВ этом случае решение (10.5) не работает. Такую систему можно решать другими методами: например, можно решить второе уравнение относительно $v$, подставить решение в уравнение на $u$, после чего использовать метод вариации постоянных (см. параграф 9.2.2). Другой способ состоит в использовании комплексной экспоненты, которая будет обсуждаться в следующей главе. Мы сейчас пропустим явное нахождение решения и ограничимся лишь картинкой с фазовым портретом, см. рис. 10.7). Такая особая точка называется вырожденным узлом.

10.2.7Комплексные собственные значения

Мы полностью разобрали случай вещественных собственных значений. Однако, скалярная матрица $2\times 2$ может иметь и комплексные собственные значения с ненулевой мнимой частью. Этот случай также необходимо разобрать.

Начнём с краткого напоминания о комплексных числах.

Напомним, что комплексные числа — это числа вида $z=x+iy$, где $i^2=-1$. Множество комплексных чисел $C$ обычно изображается в виде плоскости — и, более того, оно является двумерной вещественной плоскостью (с дополнительной структурой, заданной умножением на число $i$). Можно говорить, что $z=C\simeq R^2$. В качестве базиса можно взять 1 и $i$.

Напомним также, что $e^{ix}=\cos x+i\sin \left(x\right)$ (доказательство тривиально: достаточно подставить $z=ix$ в ряд $e^z={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{z^n}{n!}$ и выделить вещественную и мнимую части). Пользуясь этим мы можем записать комплексное число в полярной форме: $z=r{e}^{i\phi }$, $z=|z|$ - радиус, $\phi =\arg z$ — угол.

В то же время, если рассматривать $C$ как комплексное линейное пространство (то есть разрешить коэффициентам тоже быть комплексными), элементы 1 и $i$ станут комплексно-зависимыми (т.к. $i\cdot i+1=0$), и пространство станет одномерным. Таким образом, $C$ — комплексная прямая.

По аналогии с $R^n$ можно рассматривать $C^n$ — комплексное $n$-мерное пространство. Но мы этого делать не будем.

Из доказанной леммы следует, что если собственные значения матрицы комплексны и имеют ненулевую мнимую часть, то они обязаны быть различными. На первый взгляд кажется, что тут история заканчивается: раз собственные значения различны, значит, матрица диагонализируема, можно перейти к собственному базису и получить такие же результаты, как в параграфе 10.2.1. В принципе, это правда. Но есть нюанс: диагональная матрица будет комплексной, матрица перехода тоже будет комплексной и решения будут комплексными. Но исходное уравнение было вещественным и нас интересуют его вещественные решения. Которые, конечно, будут подмножеством комплексных решений, но сходу их выделить и понять, как они устроены, будет не так-то просто. Поэтому мы пойдём другим, чуть более заковыристым путём. Но сначала определим всё-таки, что такое дифференциальное уравнение с комплексным фазовым пространством. Оно нам понадобится.

10.2.8Автономные уравнения с комплексным фазовым пространством

Можно рассматривать дифференциальные уравнения видагде $z:R\to C$ — комплекснозначная функция (или вектор-функция) вещественного времени, $f:C\to C$ — комплекснозначная функция комплексной переменной.

(По правде говоря, с математической точки зрения очень интересно рассматривать дифференциальные уравнения и с комплексным временем $t$ тоже. Привычная интуиция при этом перестаёт работать: если время комплексное, оно становится плоскостью (с вещественной точки зрения) и перестаёт течь «из прошлого в будущее» (комплексные числа нельзя сравнивать между собой). В общем, есть риск уйти в четырёхмерное пространство и не вернуться. Мы не будем этого делать.)

10.2.9Комплексные линейные уравнения

Рассмотрим теперь чуть более сложное комплексное уравнение Его решением по-прежнему будет экспонента Проделаем то же самое, что мы сделали выше (раскроем скобки, приравниваем вещественную и мнимую часть): И решение

Найдем собственные значения матрицы в уравнении (10.13): $$\begin{array}{cc}& (\alpha -\lambda {)}^2+{\omega }^2=0\\ & (\alpha -\lambda {)}^2-(i\omega {)}^2=0\\ & (\alpha -\lambda -i\omega )(\alpha -\lambda +i\omega )=0\\ & {\lambda }_{1,2}=\alpha \pm i\omega \end{array}$$ Итак, мы показали, что линейному комплексному уравнению с коэффициентом $\lambda =\alpha +i\omega$ соответствует вещественное уравнение с комплексными собственными значениями, одно из которых равно $\lambda$, а другое $\overline{\lambda }$.

Теперь мы умеем решать вещественные системы с матрицей как в уравнении (10.13): они соответствуют комплексным уравнениям и их решения задаются формулой (10.14). Можно ли привести к такому виду любую вещественную матрицу с комплексными собственными значениями? Оказывается, можно.

Эта теорема по своему смыслу похожа на теорему о диагонализации. Если у матрицы есть различные вещественные собственные значения, то её можно привести к диагональному виду. А если собственные значения комплексно-сопряжённые, то самый лучший вид, к которому её можно привести, оставаясь в вещественных числах — это вид (10.15). Мы будем называть соответствующие координаты нормализующими, хотя это не общеупотребительный термин.

Уравнения с матрицей вида (10.15) мы уже умеем решать. А значит теперь можем решить любое линейное уравнение на плоскости с комплексно-сопряжёнными собственными значениями: достаточно перейти к нормализующим координатам.

10.2.10Центры и фокусы

Решение (10.14) представляет собой результат применения к начальному условию $(x_0,y_0)$ матрицы поворота на угол $\omega t$ и умножения на вещественное число $e^{\alpha t}$. Возможно два случая: $\alpha =0$ и $\alpha \ne 0$.

Если $\alpha =0$, $e^{\alpha t}=1$ и фазовыми кривыми в нормализующих координатах будут окружности, а в исходных координатах — эллипсы, см. рис. 10.8. Соответствующая особая точка называется центром.

Если $\alpha \ne 0$, вместе с вращением будет происходить приближение к началу координат (при $\alpha <0$) или удаление от него (в противном случае). Фазовыми кривыми будут логарифмические спирали, см. рис. 10.9. Такая особая точка называется фокусом. Подобно узлам, фокусы бывают устойчивыми (при $\alpha <0$) и неустойчивыми (в противном случае). Вращение в исходных координатах может происходить как в положительном направлении, так и в отрицательном. По уравнению в нормализующих координатах определить направление вращения нельзя (в отличие от устойчивости): нужно смотреть на исходную систему (или на матрицу перехода).

10.3Итог классификации

Мы проделали долгий путь. Подведём итог. Пусть матрица линейной системы дифференциальных уравнений на плоскости невырождена и имеет собственные значения $\lambda$ и $\mu$. Тогда:

• Если $\lambda$ и $\mu$ вещественные
  • и имеют разные знаки: седло, см. рис. 10.5.
  • и имеют одинаковые знаки, но различны: узел, см. рис. 10.4.
  • и совпадают, но матрица диагональна: дикритический узел, см. рис. 10.6.
  • и совпадают, а матрица не диагональна: вырожденный узел, см. рис. 10.7.
• Если $\lambda$ и $\mu$ комплексные и следовательно комплексно-сопряжённые, $\lambda =\alpha +i\omega$
  • и $\alpha =0$: центр, см. рис. 10.8.
  • и $\alpha \ne 0$: фокус, см. рис. 10.9.

Все типы узлов, а также фокусы, в свою очередь, бывают устойчивыми (все траектории стремятся к началу координат в прямом времени) или неустойчивыми (все траектории стремятся к началу координат в обратном времени).

На этом мы заканчиваем полную классификацию невырожденных линейных уравнений на плоскости.

---