1Понятие дифференциального уравнения
1.1Примеры моделей, приводящих к дифференциальным уравнениям
Прежде чем говорить о дифференциальных уравнения в общем виде, обсудим несколько простых примеров, в которых они возникают естественным образом.1.1.1Рост населения. Мальтузианская модель
Пусть скорость роста популяции какого-нибудь вида (например, рыб в пруду или бактерий в чашке Петри) в любой момент времени пропорциональна количеству особей в популяции в этот момент времени. Это предположение кажется разумным (какая-то часть популяции за единицу времени воспроизводится), если есть достаточное количество ресурсов. Обозначим размер популяции в момент времени через . Тогда мгновенная скорость роста равна . Обычно производная по переменной обозначается точкой , а не штрихом. Таким образом, наш закон роста размера популяции можно записать так:1.1.2Рост экономики. Модель Солоу
Согласно модели Солоу, скорость прироста капиталовооруженности экономики (количества капитала в расчёте на одного трудоспособного человека) в предположении отсутствия внешней торговли, технического прогресса и роста населения, описывается формулой1.1.3Механическая система. Падающий шарик
Если я возьму в руку маленький тяжелый шарик, что с ним произойдёт, когда я его отпущу? Не нужно проводить этот эксперимент на практике и даже решать дифференциальное уравение, чтобы ответить: он станет падать вниз. Это подскажет нам наша физическая интуиция. Использование интуиции и ранее накопленного опыта очень важно при решении задач, поэтому мы время от времени будем обращаться к механическим примерам.Пусть вертикальная координата шарика (высота) в момент времени есть . Известно, что на тело, находящееся в поле тяготения земли (на не слишком большой высоте) действует сила тяжести, равная
Чтобы перейти к дифференциальным уравнениям, нужно вспомнить второй закон Ньютона, который гласит, что ускорение тела пропорционально действующей на него силе и обратно пропорционально массе:
1.2Простейшие дифференциальные уравнения
Вернёмся к математической точке зрения на дифференциальные уравнения. Начнём с относительно общего определения.1.2.1Дифференциальное уравнение общего вида
Дифференциальным уравнением называется соотношение видаРешением дифференциального уравнения называется дифференцируемая функция , такая, что при подстановке её в уравнение получается верное равенство:
Рассмотрим несколько примеров.
1.2.2Нулевая правая часть
Простейшее дифференциальное уравнение, которое только можно придумать, имеет вид1.2.3Постоянная правая часть
Чуть более сложное уравнение:1.2.4Правая часть, зависящая только от времени
Рассмотрим несколько более сложный пример: пусть функция в правой части (1.4) на самом деле не зависит от .1.2.5Начальные условия. Задача Коши
Чтобы выделить среди семейства решений дифференциального уравнения одно, обычно вместе с самим дифференциальным уравнением рассматривают дополнительное соотношение, называемое начальным условием — значение решения в какой-то момент времени (не обязательно ) полагают равным константе.Когда задано дифференциальное уравнение и начальное условие, говорят, что поставлена задача Коши (по-английски Initial Value Problem). Например, можно рассмотреть такую задачу:
1.2.6Простейшее линейное уравнение
Положим в уравнении роста населения . Получим следующее уравнение:Неверный ответ. Это неверно, попробуйте подставить функцию в уравнение и посчитать производную.
Неверный ответ. Это неверно, попробуйте подставить функцию в уравнение и посчитать производную.
1.3Геометрические объекты
В рассмотренных выше примерах неизвестная функция принимала значения во множестве вещественных чисел. В общем случае функция может принимать значения в других множествах — например, в многомерных пространствах. Множество, в котором принимает значение неизвестная функция (или, иными словами, множество всевозможных значений при каком-нибудь фиксированном ) называется фазовым пространством дифференциального уравнения. Множество точек вида (декартово произведение фазового пространства на ось времени) называется расширенным фазовым пространством. График решения называется интегральной кривой. Интегральные кривые живут в расширенном фазовом пространстве. Построим некоторые интегральные кривые для уравнения . Как мы уже знаем, ими будут графики экспонент.import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py
plt.rcParams['figure.figsize'] = (8, 6)
ob.axes4x4()
initials = list(range(-5, -1)) + [0.15] + [x/np.exp(1) for x in [1, 2, 3]]
initials.extend([-x for x in initials])
initials.append(0)
for C in initials:
ob.mplot(np.linspace(-4,4),lambda t, C=C: C * np.exp(t),
color='steelblue', linewidth=1.5)
Вот что это такое. Возьмём произвольную точку расширенного фазового пространства. Например, , . Мы можем провести в точке касательную к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Действительно, чтобы провести прямую через фиксированную точку, нужно знать только её угловой коэффициент, но угловой коэффициент касательной к графику некоторой функции равняется производной этой функции. А производную решения мы знаем, по определению решения она равна правой части уравнения. Для уравнения (1.10) правая часть в точке равна и, значит, касательная, проходящая через точку , имеет угловой коэффициент, равный . Можно взять ещё несколько точек на прямой и провести соответствующие касательные через них. Получится такая картинка, см. рис. 1.2.
Понятно, что можно, действуя аналогично, построить касательные к решениям не только в выбранных точках, но и вообще в любой точке расширенного фазового пространства. В данном случае правая часть не зависит от явно, поэтому через любые две точки, лежащие на одной горизонтальной прямой, будут проходить параллельные касательные. Мы будем рисовать только маленькие кусочки этих касательных.
Эта интерпретация скоро окажется для нас очень полезной.
1.4Выводы
Дифференциальные уравнения используются для моделирования процессов, в которых участвует время. Предмет рассмотрения нашего курса — обыкновенные дифференциальные уравнения, они имеют вид , где — неизвестная функция, определённая на всей оси или на какой-то его связной компоненте (отрезке, интервале, полуинтервале, луче). Решением дифференциального уравнения всегда является семейство функций; чтобы выбрать из них одну, нужно задать начальное условие. Множество всех возможных значений функции называется фазовым пространством, а его декартово произведение на ось времени — расширенным фазовым пространством. График решения (кривая в расширенном фазовом пространстве) называется интегральной кривой. Если в каждой точке расширенного фазового пространства провести прямую, уголовой коэффициент которой равен значению правой части уравнения в этой точке, то получится поле прямых или поле направлений. Всякая интегральная кривая в каждой своей точке касается прямой из поля прямых, проходящей через данную точку.Мы рассмотрели ряд примеров и ввели много новых понятий, но пока ничего не говорили о самом интригующем: как всё-таки решать дифференциальные уравнения? Короткий ответ неутешителен: дифференциальные уравнения обычно не решаются явно. (Если вас это расстраивает, подумайте о том, что обычные алгебраические уравнения начиная с пятой степени тоже как правило не решаются явно.) Тем не менее, мы научимся решать уравнения некоторых специальных классов (займёмся этим уже в следующей главе), а затем обсудим, что можно сделать с теми уравнениями, которые не решаются.