4Дифференциальные уравнения в многомерных фазовых пространствах

4.1Многомерные фазовые пространства

До сих пор мы рассматривали дифференциальные уравнения с одномерным фазовым пространством: искомая функция принимала значения во множестве вещественных чисел. На практике нам зачастую нужны более сложные дифференциальные уравнения с многомерными фазовыми пространствами. Для простоты обозначений здесь и ниже мы будем рассматривать преимущественно двумерные фазовые пространства. Большинство определений мгновенно обобщаются на случай произвольной размерности.

4.1.1Отступление: что такое фазовое пространство?

Определение 1. Фазовое пространство — это пространство, точка в котором описывает состояние всей системы целиком в фиксированный момент времени. Изменение системы с течением времени соответствует движению точки в фазовом пространстве. Сложные системы описываются большим количеством параметров и требуют рассмотрения многомерных фазовых пространств. Координаты в фазовом пространстве называются фазовыми переменными.

Пример 1. Зачастую просто использование понятия фазового пространства позволяет сильно продвинуться в понимании задачи. Приведем задачу Н.Н.Константинова из книги Арнольда:

Пусть есть два города — A и B — и между ними проведены две дороги. Из города А в какой-то момент вышли Ромео и Джульетта и направились в сторону города B. При этом они решили идти каждый по своей дороге, держась за веревочку длиной 5 метров — Ромео за один конец, Джульетта за другой. Веревочка может не быть натянутой (то есть расстояние между Ромео и Джульеттой может быть меньше 5 метров, но не может быть больше), они могут притормаживать, ускоряться, пропускать друг друга вперед, идти назад и т.д. — двигаться как угодно. Известно, что двигаясь таким образом им удалось попасть из города A в город B.

В другой день из города B в город A выехал воз, нагруженный товаром, а из города A в город B выехал другой воз, тоже нагруженные товаром, и ехали они по разным тропинкам. Возы круглые (если смотреть сверху), их радиус 3 метра.

Утверждение. Если два человека смогли пройти, держась за верёвочку, то возы не смогут разъехаться.

Доказательство. Для решения мы нарисуем фазовое пространство — в данном случае, фазовую плоскость. По горизонтальной оси отложим расстояние до объекта (будь то человек или воз) от города А по одной дороге, а по вертикальной — расстояние до другого объекта по другой дороге. Таким образом, расположение обоих объектов будет задано одной точкой на плоскости. Движению обоих объектов будет соответствовать некоторая кривая на фазовом пространстве — фазовая кривая (или траектория).

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py

plt.axis([-0.1,1.1,-0.1,1.1])
ob.center_spines()
plt.plot([1, 1, 0, 0, 1],[0, 1, 1, 0, 0], linewidth=2)
plt.text(0.02, 1.02, "B",fontsize=20)
plt.text(1.02, 0.02, "B",fontsize=20)
plt.text(0.02, 0.02, "A",fontsize=20)
ob.mplot(np.linspace(0, 1), 
         lambda x: 1 - ((1 - x)**2 + np.sin(3 * np.pi * (1 - x)) * 0.3 * (x - x**2)))
ob.mplot(np.linspace(0, 1), lambda x: (1 - x**2) - np.cos(3 * np.pi * x) * 0.3 * (x - x**2))

Рис. 4.1: Фазовая плоскость

В начальный момент времени Ромео и Джульетта находились в городе A, что соответствует точке

(0, 0)

на картинке. В конечный момент времени они оказались в городе B, что соответствует точке

(1, 1)

на картинке. Таким образом, если смотреть на траектории, они «прошли» из левого нижнего угла в правый верхний. Наоборот, возы в фазовом пространстве двигались из левого верхнего угла в правый нижний. На картинке рыжим цветом изображено движения возов, зеленым — движение людей. Очевидно, что траектория может быть не только графиком функции, но и произвольной непрерывной кривой. Теперь заметим, что две кривые, соединяющие противоположные углы квадрата, в какой-то момент обязательно пересекутся. (Строгое доказательство этого утверждения нетривиально — оно требует сложной в доказательстве леммы Жордана — но интуитивно оно не вызывает сомнений.) Это означает, что как минимум в одном месте фазового пространства одновременно будет выполнены условия, что расстояние между возами не более пяти (люди держатся за веревочку), но и не менее шести (сумма радиусов возов). Противоречие.∎

Пример 2. В модели Солоу рассматривалось одномерное фазовое пространство — единственной переменной была капиталовооруженность

k

, потребление считалось постоянным. В более сложной модели Рамсея учитывается, что потребление

c

может меняться со временем, и оно вступает в игру как одна из неизвестных функций. Фазовое пространство становится двумерными, фазовыми переменными являются капиталовооруженность

k

и потребление

c

Пример 3. Когда мы обсуждали мальтузианский рост популяции, наше пространство было одномерным: нас интересовал только размер популяции в данный момент времени. Если бы мы рассмотрели более сложную модель, включающую, например, взаимодействующие популяции двух разных видов, нам потребовалось бы два числа для описания состояния системы — количество особей одного вида и другого вида. Рассмотрим, скажем, простейшую модель взаимодействия двух видов, один из которых является хищником, а другой — жертвой — например, взаимодействие кроликов и лис, или щук и карасей.

Пусть $x$ — число лис, $y$ — число кроликов. Если ни одной лисы нет, скорость роста числа кроликов пропорциональна числу самих кроликов (как в мальтузианской модели — какая-то часть популяции воспроизводится за единицу времени). Наоборот, если нет кроликов, то лисы вымирают от голода — за единицу времени какая-то доля популяции погибает. Каждая встреча лисы с кроликом (которые происходят с частотой, пропорциональной произведению $x y$ ) вносит положительный вклад в динамику лис и отрицательный — в динамику кроликов. Запишем дифференциальное уравнение (систему из двух уравнений):

{\begin{matrix} ˙ y = k y - λ \cdot x y ˙ x = - β x + γ \cdot x y, \end{matrix}

где

k

λ

β

γ

— некоторые положительные параметры. Фазовым пространством здесь является первая координатная четверть

x \geq 0, y \geq 0

. Эта система называется моделью Лотки—Вольтерры. Мы к ней ещё вернёмся в будущем.

4.2Дифференциальные уравнения в многомерных пространствах

Нам потребуется напомнить некоторые определения из математического анализа.

Определение 2. Областью в пространстве

R^{n}

мы будем называть связное подмножество в

R^{n}

. Часто под областью подразумевают открытое подмножество, но мы не будем накладывать этого требования. Например, отрезок, интервал, полуинтервал, луч — все они являются областями в

R^{1}

. Первая четверть (открытая или замкнутая — не важно) — область в

R^{2}

Определение 3. Вектор-функцией называется отображение

φ : I \to R^{n}

из области

I \in R

числовой прямой в многомерное векторное пространство. Вектор-функцию можно представлять себе как упорядоченный набор числовых функций (то есть отображений числовой прямой в себя):

φ (t) = (φ_{1} (t), φ_{2} (t), \dots, φ_{n} (t)) \in R^{n},

где

φ_{j} : I \to R

для всех

j = 1, \dots, n

Определение 4. Производной вектор-функции

φ : I \to R^{n}

φ (t) = (φ_{1} (t), \dots, φ_{n} (t))

называется вектор-функция, составленная из производных каждой компоненты функции

φ

˙ φ (t) = ({˙ φ}_{1} (t), \dots, {˙ φ}_{n} (t))

Теперь мы готовы к тому, чтобы сформулировать общее определение дифференциального уравнения первого порядка с фазовым пространством произвольной размерности.

Пусть $z : I \to R^{n}$ — $n$ -мерная вектор-функция, $U$ — фазовое пространство, являющееся некоторой областью в $R^{n}$ , $I \times U$ — расширенное фазовое пространство, $F : I \times U \to R^{n}$ — гладкое отображение. Тогда можно рассмотреть дифференциальное уравнение

\begin{matrix} ˙ z = F (t, z) \\ (4.1) \end{matrix}

Его решением является вектор-функция

z = φ (t)

, такая, что

\begin{matrix} ˙ φ (t) = F (t, φ (t)) \\ (4.2) \end{matrix}

для всех

t

из области определения

φ

Понятия «система дифференциальных уравнений» и «дифференциальное уравнение с многомерным фазовым пространством» эквивалентны. Действительно, рассмотрим, например, систему из двух дифференциальных уравнений:

\begin{matrix} {\begin{matrix} ˙ x = f (x, y, t) ˙ y = g (x, y, t) \end{matrix} \\ (4.3) \end{matrix}

Систему (4.3) можно представить как одно дифференциальное уравнение вида (4.1) на вектор-функцию

z (t) = (x (t), y (t))

, где

F (t, z) = (f (x, y, t), g (x, y, t))

Здесь ситуация полностью аналогична линейной алгебре: нет никакой разницы между системой линейных уравнений и одним линейным уравнением относительно вектора (например, записанным в матричной форме).

4.2.1Теорема существования и единственности решения задачи Коши

Мы уже формулировали кратко теорему существования и единственности для многомерных дифференциальных уравнений, но сейчас не грех и повторить.

Теорема 1. Рассмотрим уравнение (4.1), в котором правая часть

F (t, z)

непрерывно дифференцируема (

C^{1}

-гладкая, то есть дифференцируемая и все частные производные непрерывны) в окрестности точки

(t_{0}, z_{0})

расширенного фазового пространства.

Тогда найдётся такая окрестность $U = U_{δ} (t_{0})$ , что на $U$ существует решение $z = φ (t)$ уравнения (4.1), удовлетворяющее условию $φ (t_{0}) = z_{0}$ , и при этом любое другое решение уравнения (4.1), удовлетворяющее этому же условию, совпадает с $φ$ на некоторой окрестности точки $t_{0}$ .

4.3Автономные системы дифференциальных уравнений

4.3.1Геометрия вектор-функций

Ещё один небольшой экскурс в математический анализ. С любой вектор-функцией связаны два геометрических понятия, которые нам сейчас понадобятся: её график и траектория. Проще начать с траектории.

Определение 5. Траекторией вектор-функции

φ : I \to R^{n}

называется кривая в

R^{n}

, являющаяся образом для отображения

φ

, с отмеченным на ней направлением, соответствующим увеличению аргумента. Иными словами, траектория — это кривая

{φ (t) ∣ t \in I},

на которой нарисована стрелочка, соответствующая направлению увеличения параметра

t

Пример 4. Рассмотрим вектор-функцию

φ (t) = (cos (t), sin (t))

t \in [0, 2 π)

. Её траекторией будет единичная окружность, ориентированная против часовой стрелки.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py

plt.figure(figsize=(3,3))

plt.axis([-1.1, 1.1, -1.1, 1.1])
ob.center_spines()
T = np.linspace(0, 2*np.pi, 200)
plt.plot(np.cos(T), np.sin(T))
ax = plt.gca()
ax.arrow(np.sqrt(1/2),np.sqrt(1/2),
         -0.00001, 0.00001, head_width=0.04, 
         head_length=0.07, fc='b', ec='b')

Вопрос 1. Что будет траекторией для вектор-функции

φ (t) = (sin (2 t), cos (2 t))

Такая же окружность.

Неверный ответ. Не совсем. Что насчёт ориентации?

Окружность радиуса 2.

Неверный ответ. Нет. Подставьте любое значение $t$ и посмотрите, что получится.

Единичная окружность, ориентированная по часовой стрелке.

Верный ответ. Верно!

Если кривая задана как траектория некоторой вектор-функции, говорят также, что эта кривая задана параметрически: параметр — это аргумент вектор-функции. Как следует из вопроса 1, одна и та же кривая может быть задана разными вектор-функциями.

Производная вектор-функции имеет следующую геометрическую интерпретацию: это вектор скорости точки, движущейся вдоль траектории. Естественно изображать векторы скорости на картинке с траекторией вектор-функции, откладывая их от соответствующих точек.

Пример 5. Для вектор-функции

φ (t) = (cos t, sin t)

производной является вектор-функция

˙ φ (t) = (- sin t, cos t)

. Нетрудно видеть, что вектор

˙ φ (t)

перпендикулярен радиус-вектору точки

φ (t)

. На картинке это будет выглядеть так.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py

plt.figure(figsize=(4,4))

plt.axis([-2, 2, -2, 2])
ob.center_spines()
T = np.linspace(0, 2*np.pi, 200)
plt.plot(np.cos(T), np.sin(T))
ax = plt.gca()

T = np.linspace(0, 2*np.pi, 4*4+1)
plt.quiver(np.cos(T), np.sin(T), -np.sin(T), np.cos(T), 
           scale=0.9, scale_units='x', color='Teal', headlength=7)

Утверждение 1. Вектор производной вектор-функции

φ

в точке

t_{0}

касается траектории этой функции в точке

t_{0}

Упражнение. Доказать утверждение 1.

Теперь разберёмся с графиком. В отличие от траектории, которая рисуется в пространстве-образе вектор-функции, график рисуется в декартовом произведении прообраза на образ, то есть в пространстве $I \times R^{n}$ . Например, для вектор-функции $φ : I \to R^{2}$ , это будет картинка в трёхмерном пространстве с координатами $t, x, y$ . Рисуется она так: для каждого значения $t \in I$ рисуется точка $(t, x (t), y (t))$ , где $(x (t), y (t)) = φ (t)$ . Иными словами, для каждого значения $t$ можно провести плоскость, проходящую через точку $(t, 0, 0)$ параллельно координатной плоскости $O x y$ , и она должна пересечь наш график в единственной точке $(t, x (t), y (t))$ , соответствующий значению функции $φ$ в точке $t$ . (Если вдуматься, здесь всё совершенно аналогично понятию графика для функции одной переменной. Вдумайтесь.)

Формальное определение такое:

Определение 6. Графиком вектор-функции

φ : I \to R^{n}

называется подмножество декартова произведения

I \times R^{n}

, устроенное следующим образом:

{(t, φ (t)) ∣ t \in I}

Пример 6. Графиком вектор-функции

φ (t) = (cos t, sin t)

будет спираль.

import plotly
import plotly.graph_objs as go
from plotly.offline import iplot as plot
from plotly.offline import init_notebook_mode

init_notebook_mode()

import numpy as np

t = np.linspace(0, 2*np.pi,50)

trace1 = go.Scatter3d(
    x = t,
    y = np.cos(t),
    z = np.sin(t),
    mode = 'lines+markers',
    marker = {'size': 3},
    hoverinfo = 'none',
    name = 'График',
    line = go.Line(width = 4),
    projection = {'x': {'show': True, 'opacity': 1}},
)
trace2 = go.Scatter3d(
    x = np.zeros_like(t),
    y = np.cos(t),
    z = np.sin(t),
    mode = 'lines',
    hoverinfo = 'none',
    name = 'Траектория',
    line = go.Line(width = 4)
)
trace3 = go.Scatter3d(
    x = t,
    y = np.zeros_like(t),
    z = np.zeros_like(t),
    mode = 'lines',
    hoverinfo = 'none',
    name = 'x=0, y=0'
)
layout = go.Layout(
                scene = go.Scene(
                    xaxis = {'title': 't'},
                    yaxis = {'title': 'x'},
                    zaxis = {'title': 'y'},
                    camera = {'eye': {'x': 1, 'y': -2, 'z': 1}}
                )
)
plot(dict(data=[trace1, trace3], layout=layout))

Рис. 4.4: Траектория и график вектор-функции

φ (t) = (cos t, sin t)

. Картинку можно крутить!

Замечание 1. Траектория вектор-функции является проекцией её графика вдоль оси

t

4.3.2Автономные дифференциальные уравнения на плоскости

Если правая часть не зависит от

t

явно, система из двух дифференциальных уравнений становится автономной и принимает вид:

\begin{matrix} {\begin{matrix} ˙ x = f (x, y) ˙ y = g (x, y) \end{matrix} \\ (4.4) \end{matrix}

Напомним, что интегральной кривой дифференциального уравнения называется график его решения; интегральная кривая лежит в расширенном фазовом пространстве. Для автономных уравнений также оказываются содержательными геометрические объекты, определённые в фазовом пространстве.

Определение 7. Траекторией (или фазовой кривой) системы (4.4) называется траектория вектор-функции, являющейся решением этой системы.

Замечание 2. Фазовая кривая — это проекция интегральной кривой на фазовое пространство вдоль оси времени (ср. с замечанием 1).

Утверждение 2. Через любую точку

(x_{0}, y_{0})

фазовой плоскости уравнения (4.4) проходит фазовая кривая, причём ровно одна.

Доказательство. Возьмём произвольный момент времени

t = t_{0}

. По теореме существования и единственности существует и единственно решение

φ (t) = (x (t), y = y (t))

уравнения (4.4), определённое в некоторой окрестности точки

t_{0}

, и такое, что

x (t_{0}) = x_{0}

y (t_{0}) = y_{0}

. Его траектория даёт фазовую кривую, проходящую через точку

(x_{0}, y_{0})

Остаётся доказать, что эта траектория единственна. Для конкретного $t_{0}$ единственность следует из единственности решения; остаётся доказать, что от выбора $t_{0}$ фазовая кривая не зависит. Действительно, уравнение (4.4) автономно, а, следовательно сдвиг по времени начального условия приведёт к такому же сдвигу по времени всего решения. Иными словами, для другого начального момента времени $t = t_{1}$ решением будет функция $φ_{1} (t) = φ (t - t_{1} + t_{0})$ . Траектории у функций $φ$ и $φ_{1}$ совпадают. Следовательно, фазовая кривая единственна.∎

import plotly
import plotly.graph_objs as go
from plotly.offline import iplot as plot
from plotly.offline import init_notebook_mode

init_notebook_mode()

import numpy as np

t = np.linspace(0, 1.5, 20)
t0 = 0.5
data = []
def f(t):
    return (np.cos(2*t), np.sin(2*t))

data.append(go.Scatter3d(
    x = t,
    y = f(t)[0],
    z = f(t)[1],
    mode = 'lines+markers',
    hoverinfo = 'none',
    name = 'График',

    line = go.Line(width = 4),
    marker = {'size': 3},
    projection = {'x': {'show': True, 'opacity': 0.6}}
))
data.append(go.Scatter3d(
    x = [t0],
    y = [f(t0)[0]],
    z = [f(t0)[1]],
    hoverinfo = 'none',
    showlegend = False,
    projection = {'x': {'show': True}}
))
deltat = 0.5
data.append(go.Scatter3d(
    x = t + deltat,
    y = f(t)[0],
    z = f(t)[1],
    mode = 'lines+markers',
    hoverinfo = 'none',
    name = 'Траектория',
    line = go.Line(width = 4),
    marker = {'size': 3},
    projection = {'x': {'show': True, 'opacity': 0.7}}
))
data.append(go.Scatter3d(
    x = [t0 + deltat],
    y = [f(t0)[0]],
    z = [f(t0)[1]],
    hoverinfo = 'none',
    showlegend = False,
    projection = {'x': {'show': True}}
))
layout = go.Layout(
                scene = go.Scene(
                    xaxis = {'title': 't'},
                    yaxis = {'title': 'x', 'range': [-1.2, 1.2]},
                    zaxis = {'title': 'y', 'range': [-1.2, 1.2]},
                    camera = {'eye': {'x': 1, 'y': -2, 'z': 1}}
                ),
                showlegend = False,
)
plot(dict(data=data, layout=layout))

Рис. 4.5: Интегральные кривые, отличающиеся сдвигом по времени, проецируются в одну и ту же фазовую кривую

Определение 8. Если нарисовать на фазовом пространстве все возможные траектории, получится фазовый портрет.

С интегральными кривыми связаны поля направлений; для фазовых кривых есть похожий объект: векторное поле.

Определение 9. Векторным полем, заданным системой (4.4), называется следующий объект: в каждой точке

(x_{0}, y_{0})

фазового пространства нарисован вектор, выходящий из точки

(x_{0}, y_{0})

и имеющий координаты

(f (x_{0}, y_{0}), g (x_{0}, y_{0}))

Замечание. Каждый вектор векторного поля показывает, с какой скоростью движется точка вдоль фазовой кривой, проходя определённое место в фазовом пространстве. Фазовые кривые системы касаются векторов соответствующего векторного поля в каждой своей точке. Это мгновенно следует из утверждения 1.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 7. Нулевое поле:

\begin{matrix} ˙ x = 0, ˙ y = 0 \\ (4.5) \end{matrix}

В каждой точке отложен нулевой вектор.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py

plt.figure(figsize=(6,6))
plt.axis([-4,4,-4,4])
X = np.arange(-4,4,0.7)
x, y = np.meshgrid(X, X)
plt.plot(x, y, 'o', color='Teal');

Рис. 4.6: Нулевое векторное поле: кружочки символизируют нулевые векторы

Вопрос 2. Как выглядят фазовые кривые этого уравнения?

Произвольные кривые

Неверный ответ. Это неверно: у системы (4.5) и начального условия $x (0) = x_{0}, y (0) = y_{0}$ всегда существует тождественное решение $x (t) = x_{0}, y (t) = y_{0}$ , а по теореме существования и единственности других решений нет.

Вся плоскость

Неверный ответ. Это неверно: вся плоскость не может быть фазовой кривой, например, потому что не бывает дифференцируемого отображения из прямой на всю плоскость.

Каждая точка является отдельной фазовой кривой

Верный ответ. Верно! У системы (4.5) и начального условия $x (0) = x_{0}, y (0) = y_{0}$ всегда существует тождественное решение $x (t) = x_{0}, y (t) = y_{0}$ , а по теореме существования и единственности других решений нет. Траектория постоянной вектор-функции — одна точка.

Пример 8. Постоянное поле:

˙ x = 1, ˙ y = 2

В каждой точке отложен один и тот же вектор с координатами

(1, 2)

. Фазовыми кривыми являются параллельные прямые с угловым коэффициентом

2

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py

plt.figure(figsize=(4,4))
fs = lambda x, y: (1,2)
ob.vectorfield(np.linspace(-4, 4, 6),
               np.linspace(-4, 4, 6),
               fs, color='Teal', 
               headlength=7, scale=0.9,
               scale_units='x')

Рис. 4.7: Постоянное векторное поле

Пример 9. Эйлерово поле:

˙ x = x, ˙ y = y

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py

plt.figure(figsize=(4,4))
plt.xlim(-1, 1)
plt.ylim(-1, 1)
theta = np.linspace(0, 2*np.pi, 4*5+1)
r = np.linspace(0, 1, 5)**3

r, theta = np.meshgrid(r, theta)

x = np.cos(theta)*r
y = np.sin(theta)*r

plt.quiver(x, y, x, y, color='Teal', headlength=7, scale=1,
            scale_units='x')

Рис. 4.8: Эйлерово векторное поле

Вопрос 3. Каковы фазовые кривые этого уравнения?

Прямые, проходящие через начало координат.

Неверный ответ. Неверно. Фазовая кривая, стартовавшая вне начала координат, не может попасть в начало координат: это противоречило бы теореме существования и единственности.

Открытые лучи, выходящие из начала координат.

Неверный ответ. Не совсем верно. Есть ещё одна фазовая кривая.

Открытые лучи, выходящие из начала координат, а также само начало координат.

Верный ответ. Так и есть!

Открытые лучи, выходящие из начала координат (кроме вертикального), и само начало координат

Неверный ответ. Нет, в данном случае вертикальный луч является полноправной фазовой кривой: ничто не запрещает его рассматривать.

4.3.3Особые и неособые точки векторного поля

Определение 10.

Точка фазового пространства называется особой, если векторное поле в этой точке равно нулю (нулевому вектору). Иными словами, правая часть дифференциального уравнения в особой точке обнуляется. Все остальные точки называются неособыми. Особые точки также называются положениями равновесия (equilibrium point или steady state). Пусть $(x_{0}, y_{0})$ — особая точка для некоторого дифференциального уравнения. Тогда вектор-функция $φ (t) \equiv (x_{0}, y_{0})$ , тождественно равная этой точке, очевидно, является решением соответствующего уравнения (ведь её производная равна нулевому вектору). Если уравнение удовлетворяет условию теоремы существования и единственности, эта функция является единственным решением уравнения с начальным условием $(x_{0}, y_{0})$ . Иными словами, если решение начинается в особой точке, то оно вечно живёт в этой особой точке (и, более того, вечно жило в этой точке в прошлом). Никакое другое решение попасть в особую точку не может (но может долго-долго к ней приближаться). Особые точки являются отдельными траекториями и обычно изображаются на фазовом портрете маленькими кружочками.

4.4Связь между автономными и неавтономными уравнениями

Между автономными и неавтономными дифференциальными уравнениями есть важная связь, которую неформально можно сформулировать так: мир неавтономных систем ровно на одно измерение богаче мира автономных систем; чтобы перейти от неавтономной системы к автономной, нужно увеличить размерность фазового пространства на один, а для обратного перехода — уменьшить на один.

Сейчас мы обсудим одну из версий этого принципа.

Теорема 2. Рассмотрим систему

\begin{matrix} {\begin{matrix} ˙ x = f (x, y) ˙ y = g (x, y) \end{matrix} \\ (4.6) \end{matrix}

Для любой точки

P = (x_{0}, y_{0})

, такой, что

f (x_{0}, y_{0}) \neq 0

, фазовая кривая системы (4.6), проходящая через

P

, совпадает с интегральной кривой для уравнения

\begin{matrix} \frac{d y}{d x} = \frac{g (x, y)}{f (x, y)} \\ (4.7) \end{matrix}

Доказательство. Построим векторное поле системы (4.6), а также поле направлений уравнения (4.7). Рассмотрим произвольную точку

(x_{1}, y_{1})

, близкую к точке

P

. В ней поле направлений задается вектором

(f (x_{1}, y_{1}), g (x_{1}, y_{1}))

. Угловой коэффициент прямой, на которой лежит этот вектор, равен

\frac{g (x_{1}, y_{1})}{f (x_{1}, y_{1})}

. Угловой коэффициент прямой из поля направлений уравнения (4.7), проведенной в точке

(x_{1}, y_{1})

, будет равен тому же числу:

\frac{g (x_{1}, y_{1})}{f (x_{1}, y_{1})}

. По теореме о существовании и единственности, кривая, касающаяся в каждой своей точке соответствующего направления, единственна. Значит, фазовая кривая автономного уравнения и интегральная кривая неавтономного совпадают.

Этот принцип работает во всех точках, когда $f (x_{0}, y_{0}) \neq 0$ . В точках, когда это не выполнено можно поменять ролями $x$ и $y$ : выражать не $y$ через $x$ , а $x$ через $y$ . Наконец, когда оба выражения обнуляются: $g (x_{0}, y_{0}) = f (x_{0}, y_{0}) = 0$ — то эта точка является особой, и в ней не определено поле направлений.∎

Пример 10. Рассмотрим систему, задающую эйлерово векторное поле:

˙ x = x ˙ y = y .

Уравнения, входящие в эту систему, не зависят друг от друга (в уравнении на

x

фигурирует только

x

, в уравнении на

y

— только

y

). Решения этих уравнений нам уже известны (см. параграф 1.2.6):

\begin{matrix} x (t) = x_{0} e^{t}, y (t) = y_{0} e^{t}, \\ (4.8) \end{matrix}

где

x (0) = x_{0}, y (0) = y_{0}

— начальные условия.

Уравнения на фазовые кривые можно получить, выразив $x$ через $y$ или $y$ через $x$ . Например, из первого уравнения следует, что $e^{t} = x (t) / x_{0}$ и подставляя это во второе уравнение, имеем:

y = x \frac{y_{0}}{x_{0}}

Иными словами, фазовые кривые лежат на прямых, проходящих через начало координат. Из выражения для решений (4.8) видно, что фазовые кривые являются открытыми лучами: решения стремятся к точке

(0, 0)

при

t \to - \infty

, но никогда не достигают этой точки.

С помощью теоремы 2 можно было бы получить уравнение на фазовые кривые, не находя явного вида решений. Для этого необходимо перейти к соответствующему неавтономному уравнению

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x}

Это уравнение с разделяющимися переменными и оно легко решается:

\begin{matrix} \frac{d x}{x} & = \frac{d y}{y} \int \frac{d x}{x} & = \int \frac{d y}{y} ln | y | & = ln | x | + C | y | & = C | x | \\ (4.9) (4.10) (4.11) (4.12) \end{matrix}

Поскольку

x

y

никогда не меняют знак, можно снять модули и получить уравнение

y = C x

, задающее то же семейство прямых, что и раньше.

При этом, однако, мы потеряли некоторую информацию: в частности, направление движения по фазовым кривым, а также тот факт, что на самом деле фазовые кривые являются лучами, а не прямыми. Мы также потеряли вертикальные фазовые кривые и фазовую кривую, соответствующую тождественно нулевому решению (она изображается одной точкой). Всё это связано с условием $f \neq 0$ в теореме 2.

Как показывает разобранный пример, для автономного дифференциального уравнения на плоскости можно рассматривать две разные задачи:

Найти решения, то есть зависимость $x (t)$ и $y (t)$ .
Найти фазовые кривые, то есть зависимость $y$ от $x$ или $x$ от $y$ .

Для решения второй из этих задач полезно использовать теорему 2, но при этом мы теряем некоторую информацию об исходной системе.

4.4.1Репараметризация фазовых кривых

Что произойдёт с фазовыми кривыми системы дифференцальных уравнений, если её правую часть умножить на некоторое ненулевое число?

Рассмотрим систему

{\begin{matrix} ˙ x = λ f (x, y); ˙ y = λ g (x, y), \end{matrix}

где

λ > 0

. Понятно, что уравнение (4.7) при этом не изменится, поскольку

h

окажется в числителе и знаменателе и сократится. Из теоремы 2 теперь следует, что не изменятся и фазовые кривые. Однако решения уравнения при этом изменятся.

Можно сказать, что при этом происходит репараметризация фазовых кривых: мы посещаем те же точки фазового пространства, но в другие моменты времени. Сформулируем необходимое определение.

Определение 11. Рассмотрим гладкую вектор-функцию

f : [a, b] \to R^{n}

и пусть функция

h : [c, d] \to [a, b]

также гладкая, причём её производная всюду положительна и

h (c) = a

h (d) = b

. Тогда сложная функция

f \circ h

(то есть

~ f (s) = f (h (s))

s \in [c, d]

, задаёт ту же траекторию, что и исходная вектор-функция

f

. Переход от функции

f

к функции

f \circ h

называется репараметризацией кривой.

Если представить себе, что на каждой точке кривой написано значение параметра, при котором мы проходим эту точку, то репараметризация — просто изменение «номеров» точек кривой.

Утверждение 3. При репараметризации вектор производной умножается на число, но не меняет направления.

Доказательство. Это следует из теоремы о производной сложной функции:

\frac{d}{d s} f (h (s)) = \frac{d f}{d t} \cdot \frac{d h}{d s} = ˙ f \frac{d h}{d s}

При этом

f

— это вектор,

\frac{d h}{d s}

— число (причём мы потребовали, чтобы оно было положительным).∎

Неформально можно сказать, что репараметризация кривой соответствует изменению скорости, с которой мы эту кривую обходим. Теперь легко понять, что при умножении векторного поля на константу мы изменяем скорость движения вдоль фазовых кривых, но не сами фазовые кривые. Более того: аналогичное утверждение справедливо при умножении векторного поля не только на константу, но и на любую положительную функцию.

Вопрос 4. Что произойдёт с фазовыми кривыми при умножении векторного поля на отрицательное число?

Ничего не произойдёт

Неверный ответ. Не вполне верно: на фазовой кривой есть стрелочка, показывающая направление движение. Что произойдёт с этими стрелочками?

Фазовые кривые симметрично отразятся

Неверный ответ. Нет, это интегральные кривые симметрично отразятся относительно плоскости $t = 0$ .

Кривые останутся на месте, а вот стрелочки все поменяются на противоположные

Верный ответ. Верно! Именно так всё и будет.

← Предыдущая глава Следующая глава →

Обыкновенные дифференциальные уравнения Интерактивный учебник