8Первые интегралы и теорема о выпрямлении

Идея об использовании координат является одним из главных достижений математики. Однако, ещё более важной является идея о том, что системы координат нужно выбирать с умом. Мы уже сталкивались с этим в линейной алгебре: один и тот же оператор в одной системе координат может записываться ужасной непонятной матрицей, в которой все элементы ненулевые, а в другой — замечательной диагональной матрицей, в которой ненулевые элементы стоят только на диагонали, и работать с которой — одно удовольствие.

Анализируя дифференциальное уравнение также полезно перейти в такую систему координат, в которой это уравнение записывается в самом простом виде. Оказывается, если мы работаем локально, то есть вблизи некоторой точки, и эта точка является неособой (то есть векторное поле в ней не обращается в ноль), то выбором системы координат можно привести уравнение к чрезвычайно простому виду.

К сожалению, это не поможет нам его решить (потому что найти такую систему координат в явном виде не проще, чем найти решение исходного уравнения), но для теории факт важный и полезный, и пройти мимо мы не можем.

8.1Мотивирующий пример

Рассмотрим систему
Нетрудно видеть, что функция является её первым интегралом, а фазовыми кривыми являются гиперболы. 
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py

plt.figure(figsize=(6,6))
ob.mcontour(np.linspace(-4,4),
            np.linspace(-4,4),
            lambda x,y: x*y,
            list(np.arange(-15,15,1))+list(np.arange(-1,1,0.5)))    
ob.axes4x4(labels=('x','y'))
ob.vectorfield(np.arange(-4,4,0.5),np.arange(-4,4,0.5),lambda x,y: (x,-y))
Рис. 8.1: Фазовые кривые системы (8.1)
Сделаем замену переменных: . Заметим, что замена не взаимно однозначна: не всегда можно сделать обратное отображение. Напрмер, если , то нет шансов восстановить . Зато в области (следовательно ) отображение является взаимно однозначным. Произведя замену, мы получим новую систему такого вида:
Фазовые кривые этой системы — прямые, а векторное поле — параллельные векторы. Таким образом, мы выпрямили векторное поле. 
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py

plt.figure(figsize=(6,6))
ob.axes4x4(labels=('u','v'))
ob.vectorfield(np.arange(-4,4,0.5), np.arange(-4,4,0.5),lambda x,y: (x,0*y))
Рис. 8.2: Векторное поле после выпрямления
Мы могли бы пойти дальше, и в качестве второй новой координаты взять функцию . В этом случае (проверьте!) в новой системе координат система записалась бы в простейшем виде:
Оказывается, к такому виду можно привести любую систему вблизи неособой точки.

Теорема 1. Пусть — неособая точка векторного поля v: . Тогда в некоторой окрестности существуют координаты (криволинейные), такие, что в этих координатах векторное поле выпрямляется.

Доказательство. Идея доказательства: в качестве новой координаты возьмём проекцию вдоль траектории на вертикальную или горизонтальную прямую.

Давайте считать, что , при этом . Без ограничения общности, считаем, что . (Случай, когда отрицательно, рассматривается аналогично.)

Пусть — уравнение фазовой кривой, проходящей через точку . Фазовая кривая является графиком функции в области , поскольку эту область можно выбрать достаточно маленькой, чтобы в ней выполнялась теорема существования и единственности для уравнения , правая часть гладка и ограничена, поскольку отделена от нуля в области . 

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py

plt.figure(figsize=(5,5))
plt.axis('off')
ob.mplot(np.linspace(-2,2), lambda x: x**2/10-0.5)
plt.plot([0,0], [-2,2], color='red', lw=2)
ob.mcontour(np.linspace(-2,2), 
            np.linspace(-2,2),
            lambda x,y:x**2 + y**2,
            levels=[4], linestyles='--')
plt.plot([0,0,1],[0.5,-0.5,0.1-0.5],'o')
plt.text(0.05,0.5,"$(x_0,y_0)$",fontsize=16)
plt.text(1,-0.7,"$(x_1,y_1)$",fontsize=16)
plt.text(-0.05, -0.5, "$(x_0,z_1)$",
        fontsize=16, horizontalalignment="right",
        verticalalignment="top")
Проведем через точку фазовую кривую до точки пересечения с прямой . Обозначим -координату точки пересечения через . Иными словами,
В качестве новых координат точки возьмём .

Нетрудно видеть, что разным точкам, лежащим на одной и той же фазовой кривой, соответствует одна и та же точка , и значит одна и та же новая координата . Таким образом, координата не меняется вдоль фазовой кривой.

Итак, в новых координатах уравнение принимает следующий вид:

Что и требовалось.∎

Замечание 1. Строго говоря, необходимо ещё доказать, что выбранная замена координат является гладкой и невырожденной — отображение перехода от одних координат к другим имеет невырожденную матрицу Якоби. Чтобы это сделать, требуются дополнительные соображения, которые мы пока не обсуждали.

Утверждение 1. Первый интеграл всегда существует (локально, вблизи неособой точки).

Доказательство. После выпрямления, в качестве первого интеграла можно взять функцию .∎

8.1.1Нормализация на прямой

Рассмотрим уравнение

Утверждение 2. Вне окрестности особой точки это уравнение заменой неизвестной функции приводится к виду

Доказательство. Возьмём в качестве новой фазовой переменной время движения от фиксированной точки до , которое равно . Действительно, .∎

Это утверждение можно интерпретировать следующим образом: если измерять расстояния в днях пути (такое часто практиковалось в древности), то скорость движения всегда равна «1 день в день».

Таким образом, если векторное поле можно выпрямить, его можно и нормализовать (на каждой прямой по-своему), и таким образом привести любую систему к виду

У этого утверждения имеется многомерный аналог, но мы его пока не будем обсуждать.
← Предыдущая глава Следующая глава →