5Ещё о многомерных уравнениях

5.1Напоминание: автономные системы и неавтономные уравнения

Напомним теорему о связи между автономными и неавтономными уравнениями, которая обсуждалась на прошлой лекции.

Теорема 1. Рассмотрим систему

\begin{matrix} {\begin{matrix} ˙ x = f (x, y) ˙ y = g (x, y) \end{matrix} \\ (5.1) \end{matrix}

Для любой точки

P = (x_{0}, y_{0})

, такой, что

f (x_{0}, y_{0}) \neq 0

, фазовая кривая системы (5.1), проходящая через

P

, совпадает с интегральной кривой для уравнения

\begin{matrix} \frac{d y}{d x} = \frac{g (x, y)}{f (x, y)} \\ (5.2) \end{matrix}

Эта теорема была доказана в предыдущей главе. Приведём ещё одно доказательство, в большей степени аналитическое.

Доказательство. Пусть фазовая кривая системы (5.1) задаётся как вектор-функция

(x (t), y (t))

. В силу условия

f (x_{0}, y_{0}) \neq 0

, вблизи точки

P

существует обратная функция к функции

x (t)

. Обозначим её через

t (x)

, её производная

t^{'} (x) = 1 / ˙ x

. Рассмотрим функцию

y = y (t (x))

, её график задаёт фазовую кривую (5.1). По теореме о производной сложной функции:

\frac{d y}{d x} = ˙ y (t (x)) t^{'} (x) = \frac{˙ y}{˙ x} = \frac{g (x, y)}{f (x, y)} .

Таким образом, кривая является интегральной для уравнения (5.2).

Наоборот, рассмотрим интегральную кривую (5.2), заданную функцией $y = y (x)$ . Подставим её в первое из уравнений (5.1), получим автономное дифференциальное уравнение на $x$ . Решая его, найдём зависимость $x (t)$ . Рассмотрим теперь функцию $y (x (t))$ . По теореме о производной сложной функции,

˙ y (x (t)) = y^{'} (x (t)) ˙ x (t) = \frac{g (x, y)}{f (x, y)} f (x, y) = g (x, y) .

Следовательно, вектор-функция

(x (t), y (t))

является решением системы (5.1).

Доказательство завершено.∎

5.2Прямые произведения и разделение переменных

Рассмотрим прямое произведение двух одномерных уравнений:

\begin{matrix} {\begin{matrix} ˙ x = f (x) ˙ y = g (y) \end{matrix} \\ (5.3) \end{matrix}

Соответствующее этой системе неавтономное уравнение имеет вид:

\frac{d y}{d x} = \frac{g (y)}{f (x)}

Это уравнение с разделяющимися переменными. Теорема 1 даёт возможность нового доказательства корректности метода разделения переменных.

Пусть $f (x_{0}) \neq 0$ и $g (x_{0}) \neq 0$ . Решая каждое из уравнений (5.3) по отдельности, имеем: $\begin{matrix} t - t_{0} & = \int_{x_{0}}^{x} \frac{d ξ}{f (ξ)}; t - t_{0} & = \int_{y_{0}}^{y} \frac{d s}{g (s)} . \\ (5.4) (5.5) \end{matrix}$ Левые части совпадают — это время движения от точки $(x_{0}, y_{0})$ до точки $(x, y)$ . Приравнивая правые части, получаем соотношение, которое даёт нам метод решения уравнений с разделяющимися переменными.

5.3Сведение различных уравнений к автономным

В дальнейшем нас будут интересовать в основном системы автономных дифференциальных уравнений. Оказывается, другие типы уравнений к ним легко сводятся.

5.3.1Автономное уравнение из неавтономного

От неавтономного уравнения можно перейти к автономному, добавив дополнительную фазовую переменную (увеличив размерность на один). Действительно, рассмотрим систему

\begin{matrix} ˙ x = f (t, x), x \in R^{n} . \\ (5.6) \end{matrix}

Введем дополнительную переменную

y

и положим

˙ y = 1

Тогда систему (5.6) можно переписать в виде

{\begin{matrix} ˙ x = f (x, y), ˙ y = 1, \end{matrix} (x, y) \in R^{n + 1}

И это уже автономная система.

5.3.2Автономное уравнение из уравнения высшего порядка

Рассмотрим пример, который мы обсуждали на первой лекции: свободное падение (см. параграф 1.1.3). Оно задаётся уравнением

\begin{matrix} ¨ y = - g \\ (5.7) \end{matrix}

Это уравнение второго порядка: оно содержит вторую производную. Оказывается, его можно свести к системе уравнений первого порядка. Для этого введем дополнительную переменную

v

, которая будет обозначать скорость падения. Имеем:

\begin{matrix} {\begin{matrix} ˙ y = v ˙ v = - g \end{matrix} \\ (5.8) \end{matrix}

Решение получившейся системы, очевидно, будет являться также решением исходного уравнения.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py

plt.figure(figsize=(5,5))
ob.draw_axes(-10, 10, -10, 10, labels=("y", "v"))
fs = lambda x, y: (y,-10)
ob.mquiver(np.linspace(-10, 10, 15), np.linspace(-10, 10, 15), fs,
        color='Teal', headlength=7, scale=10, scale_units='x')

Рис. 5.1: Векторное поле уравнения свободного падения

Замечание 1. Как было показано в параграфе 4.4.1, если умножить все векторы векторного поля на одно и то же число, это не поменяет фазовые кривые. К тому же, векторы, хоть и рисуются стрелочками на фазовом пространстве, не принадлежат на самом деле фазовому пространству — они принадлежат пространству скоростей (математик скажет «касательному пространству»), масштаб на котором можно выбрать отличным от масштаба самого фазового пространства. Мы будем пользоваться этим фактом, выбирая этот масштаб подходящим с визуальной точки зрения образом.

Замечание 2. Фазовое пространство системы (5.8) двумерно: скорость становится второй фазовой переменной. Для уравнения (5.7) мы ранее не определяли понятие фазового пространства. Положим по определению, что оно совпадает с фазовым пространством системы (5.8). Заметим, что начальное условие системы (5.8) задаётся двумя числами: начальным положением мячика и его начальной скоростью. Аналогично начальное условие для уравнения (5.7) задаётся двумя числами:

y (t_{0}) = y_{0}

˙ y (t_{0}) = v_{0}

. Это соответствует нашей интуиции: чтобы знать, где находится мячик в произвольный момент времени, нам нужно знать не только его начальное положение, но и начальную скорость.

5.3.3Уравнение колебаний осциллятора

Аналогично можно сводить и другие уравнения высших порядков к системам автономных уравнений. Рассмотрим ещё один пример.

Рассмотрим гармонический осциллятор: математическую модель колебаний, например, маятника, слабо отклонённого от положения равновесия, или шарика на пружинке. Его динамика в подходящих координатах описывается уравнением:

\begin{matrix} ¨ x = - k x \\ (5.9) \end{matrix}

Для простоты мы будем считать, что

k = 1

. Тогда уравнение (5.9) соответствует следующей системе:

\begin{matrix} {\begin{matrix} ˙ x = y ˙ y = - x \end{matrix} \\ (5.10) \end{matrix}

Его векторное поле изображено на рис. 5.2. Уже можно догадаться, какие кривые будут траекториями уравнения.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py

plt.figure(figsize=(5, 5))
ob.axes4x4(labels=('x', 'y'))
fs = lambda x, y: (y, -x)
ob.mquiver(np.linspace(-4, 4, 15), np.linspace(-4, 4, 15),
           fs, color='Teal', headlength=7, scale=10, scale_units='x')

Рис. 5.2: Векторное поле осциллятора

Эта система, в свою очередь, соответствует неавтономному уравнению

y^{'} = - x / y

Решим это уравнение:

\begin{matrix} \frac{d y}{d x} & = - \frac{x}{y} y d y & = - x d x \int y d y & = - \int x d x \frac{y^{2}}{2} & = - \frac{x^{2}}{2} + C x^{2} + y^{2} & = C \\ (5.11) (5.12) (5.13) (5.14) (5.15) \end{matrix}

Итак, фазовыми кривыми системы (5.10) являются окружности. Нетрудно показать, что движение по каждой окружности является равномерным: действительно, вектор скорости равен

(y, - x)

, его длина

\sqrt{y^{2} + x^{2}}

равна радиусу окружности и следовательно постоянна.

Таким образом, движение осциллятора можно представлять себе не как колебания «влево-вправо», а как равномерное движение по окружности в подходящем фазовом пространстве.

5.4Ковекторы и дифференциальные 1-формы

Для дальнейшего нам понадобится вспомнить некоторые понятия из линейной алгебры.

Определение 1. Линейным функционалом или ковектором на

n

-мерном векторном пространстве

V_{n}

называется отображение

φ : V_{n} \to R

, являющееся линейным, то есть таким, что для всяких

u, v \in V_{n}

и любого числа

λ \in R

, верны равенства

φ (u + v) = φ (u) + φ (v), φ (λ u) = λ φ (u) .

Упражнение 1. Доказать, что пространство ковекторов на пространстве

V_{n}

само является линейным пространством. Оно называется сопряжённым пространством к

V_{n}

и обозначается

V_{n}^{*}

. Найти его размерность.

Ранее мы рассматривали векторные поля: каждой точке в некотором множестве ставился в соответствие вектор. Теперь нам понадобятся ковекторные поля, также называемые дифференциальными 1-формами.

Определение 2. Дифференциальной 1-формой или ковекторным полем, заданным в области

U \subset R^{n}

, называется отображение

ω : U \to V_{n}^{*}

Иными словами, дифференциальная 1-форма ставит в соответствие каждой точке из

U

некоторый линейный функционал на

V_{n}

Можно дать другое определение:

Определение 3. Дифференциальная 1-форма задаётся отображением

\begin{matrix} Ω & : U \times V_{n} \to R, Ω & : (P, v) \mapsto Ω (P, v), \\ (5.16) (5.17) \end{matrix}

линейным по второму аргументу.

Определения 2 и 3 эквивалентны: можно зафиксировать точку $P \in U$ и рассматривать $Ω$ как функцию второго аргумента: в силу линейности $Ω$ по второму аргументу, такая функция является линейным функционалом на $V_{n}$ . Таким образом, $Ω$ задаёт отображение $ω$ из $U$ в $V_{n}^{*}$ .

Пример 1. Пусть

P = (x, y) \in U \subset R^{2}

v = (v_{x}, v_{y}) \in V_{2}

. Тогда отображение

Ω (P, v) = x^{2} v_{x} + y^{2} v_{y}

будет дифференциальной 1-формой, поскольку при фиксированных

x

y

она линейна по вектору

v

Среди всех ковекторов выделяются координатные ковекторы, возвращающие некоторую координату вектора. Например, для вектора $v = (v_{x}, v_{y}) \in V_{2}$ координатными ковекторами будут $d x (v) = v_{x}$ и $d y (v) = v_{y}$ . Здесь $d x$ и $d y$ — просто обозначения для указанных ковекторов, сейчас они не имеют отношения ни к каким производным.

Пользуясь координатными ковекторами, можно записать дифференциальную 1-форму из примера 1 в виде

ω (x, y) = x^{2} d x + y^{2} d y

В дальнейшем мы будем использовать именно такие обозначения.

5.4.1Дифференциальные 1-формы и поля направлений

Рассмотрим ковектор

A \cdot d x + B \cdot d y

. Найдём множество всех векторов, на которых этот ковектор обнуляется, то есть множество решений уравнения

\begin{matrix} A \cdot d x + B \cdot d y = 0. \\ (5.18) \end{matrix}

Если хотя бы один из коэффициентов

A

B

не равен нулю, это уравнение задаёт прямую

A v_{x} + B v_{y} = 0

, проходящую через

(0, 0)

. Если оба коэффициента равны нулю, любой вектор является решением этого уравнения: в этом случае говорят о вырожденном ковекторе (или вырожденной 1-форме).

Вопрос 1. Можно ли с помощью уравнения (5.18) задать вертикальную прямую?

Нет, нельзя. Она же вертикальная!

Неверный ответ. А вот и можно!

Можно, нужно положить

A = 0, B \neq 0

Неверный ответ. Нет, так получится горизонтальная прямая: останется условие $d y = 0$ , то есть $y$ -координата нулевая.

Можно, нужно положить

A \neq 0

B = 0

Верный ответ. Верно! Останется условие $d x = 0$ , то есть $x$ -координата вектора нулевая, а значит вектор имеет вертикальное направление.

Мы показали, что любой невырожденный ковектор задаёт прямую. Рассмотрим теперь дифференциальную 1-форму

ω (x, y) = f (x, y) d x + g (x, y) d y

Для каждой точки

(x_{0}, y_{0})

, такой, что в ней функции

f

g

одновременно не обнуляются, форма

ω

задаёт некоторую прямую. Проведём теперь через каждую такую точку

(x_{0}, y_{0})

соответствующую прямую. Получим поле прямых (поле направлений), заданное дифференциальной 1-формой.

Упражнение 2. Рассмотрим дифференциальное уравнение

\begin{matrix} \frac{d y}{d x} = \frac{f (x, y)}{g (x, y)} \\ (5.19) \end{matrix}

и поле направлений, заданное дифференциальной 1-формой:

\begin{matrix} f (x, y) d x - g (x, y) d y = 0. \\ (5.20) \end{matrix}

Доказать, что поля направлений, соответствующих уравнениям (5.19) и (5.20), совпадают.

← Предыдущая глава Следующая глава →

Обыкновенные дифференциальные уравнения Интерактивный учебник