3Существование и единственность решений дифференциального уравнения
В этой главе мы обсудим главную теорему теории дифференциальных уравнений: теорему существования и единственности решений. Для начала мы сформулируем и докажем её в самом простом случае автономных уравнений на прямой.3.1Автономные уравнения на прямой
Неособая точка. Если точка является неособой, то есть , решение находится по формуле Барроу, которую мы обсуждали в предыдущей главе:
Если вы не доверяете теореме об обратной функции, можно рассуждать так. Известно, что ; допустим для определённости (как говорят «без ограничения общности»), что (обратный случай рассматривается полностью аналогично). Поскольку функция непрерывна вблизи точки , существует её окрестность , на которой функция принимает только положительные значения. Таким же свойством обладает и функция , являющаяся подынтегральным выражением в (3.3). Следовательно, функция монотонно возрастает на . Следовательно, у неё существует обратная функция.
Рассмотрим теперь второй возможный случай.
Особая точка. Если , очевидно, решением является константа : в точке уравнение требует, чтобы производная решения была нулевой, то есть решение в этой точке не растёт и не убывает, а значит остаётся постоянным.∎
Вот такое доказательство. Убедительно?
Тут нужно сделать театральную паузу. А потом рассмотреть пример.
Как так может быть? Мы доказали неверную теорему? Математика — сплошной обман?
А вот и нет. У нас просто ошибка в доказательстве: разбирая второй случай, мы сказали, что существует решение , но мы не доказали на самом деле, что других решений с таким начальным условием нет. Рассуждение о том, что решение с нулевой производной в некоторой точке «в этой точке не растёт и не убывает, а значит остаётся постоянным» легко опровергается: функция имеет нулевую производную в нуле, но при этом не является константой вблизи нуля.
Значит ли это, что теорема неверна? Снова нет. Теорема верна. Если вы внимательно посмотрите на её формулировку, то увидите, что уравнение, рассмотренное в примере, не удовлетворяет условию теоремы: правая часть не является гладкой функцией в точке : её производная там стремится к бесконечности.
Этот пример показывает, что требование -гладкости правой части в формулировке теоремы 1 является важным: если его выбросить, теорема оказывается неверной. (Впрочем, его можно ослабить: вместо гладкости требовать липшицевости правой части.) Если же это требование выполняется, теорема верна. Докажем это.
Пусть . Функция в этом случае всегда будет решением уравнения . Нам необходимо показать, что других решений не будет, то есть исключить ситуацию, когда решение принимает значение (быть может, на некотором отрезке по оси ), а затем «убегает» из этой точки. Мы докажем, что если , то «побег» запрещен.
Доказываем от противного: пусть удалось убежать из точки в какую-то точку , то есть существует решение , принимающее значение при и значение при каком-то другом . Возьмём какую-то точку между и . Поскольку решение непрерывно, должен существовать момент времени , в который мы окажемся в точке (то есть ). Посчитаем время , которое потребуется, чтобы от добраться до , см. рис. 3.1.
По формуле Барроу, оно вычисляется следующим образом:Если мы это докажем, то придём к противоречию с предположением, что нам удалось убежать за конечное время из в какую-то другую точку: понятно, что и если вторая величина может быть сколь угодно большой, то первая не может быть конечным числом.
Смысл. Переводя на русский язык, можно сказать, что гладкая функция вблизи своего нуля растёт не быстрее, чем некоторая линейная функция. В это легко поверить. Предположим для простоты, что . Возьмём функцию , такую, что . Вблизи нуля она хорошо приближается касательной , хотя и может проходить чуть выше или чуть ниже касательной. Если построить прямую, наклон которой будет несколько больше, чем наклон касательной, то график функции окажется запертым между этой прямой и её отражением относительно горизонтальной оси. (См. рис 3.2.)
3.2Общий случай
Результат, аналогичный теореме 1, справедлив и в общем случае. Мы приведём здесь только формулировку: доказательство этого фундаментального факта выходит за рамки нашего курса.Существует такая окрестность , что на существует и единственно решение задачи (3.6).
3.3Метод разделения переменных: магия продолжается
В предыдущей главе мы обсудили, как решить уравнение вида . Сейчас мы научимся решать более широкий класс уравнений с помощью той же магии, которую использовали в прошлый раз. Рассмотрим уравнениеОбоснование. Чтобы магия не казалось такой загадочной, приведём обоснование этого метода. Это не самое лучшее с моей точки зрения обоснование: в нём слишком много формул и слишком мало картинок. Чуть позже мы обсудим более геометрическое доказательство, но оно потребует дополнительных построений.
Итак, пусть — функция, удовлетворяющая соотношению (3.8). Продифференцируем почленно это соотношение по переменной .